Номер 109, страница 51 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

109.

1) $(\sqrt{\frac{3}{2}} - 3\sqrt{\frac{3}{8}} + 4\sqrt{1,5}) \cdot 2\sqrt{\frac{2}{3}};

2) $(\sqrt{0,75} + 3\sqrt{\frac{1}{27}} - \sqrt{6,75}) \cdot \sqrt{3};

3) $(\sqrt[3]{\frac{1}{6}} - \sqrt[3]{36} + \sqrt[3]{4,5}) \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{4}};

4) $(\sqrt[4]{\frac{125}{27}} - \sqrt[4]{375} - \frac{1}{\sqrt[4]{135}}) \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}}.

1) $(\sqrt{\frac{3}{2}} - 3\sqrt{\frac{3}{8}} + 4\sqrt{1,5}) \cdot 2\sqrt{\frac{2}{3}}$

Решение

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем все слагаемые к общему виду, выделив радикал $\sqrt{\frac{3}{2}}$.

$\sqrt{\frac{3}{2}}$

$3\sqrt{\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{4 \cdot 2}} = 3\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = 3\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}$

$4\sqrt{1,5} = 4\sqrt{\frac{3}{2}}$

Подставим упрощенные выражения обратно в скобки:

$(\sqrt{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} + 4\sqrt{\frac{3}{2}}) = (1 - \frac{3}{2} + 4)\sqrt{\frac{3}{2}} = (\frac{2 - 3 + 8}{2})\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{7}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}$

Теперь умножим результат на второй множитель:

$\frac{7}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot 2\sqrt{\frac{2}{3}} = 7 \cdot (\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}) = 7 \cdot \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 7 \cdot \sqrt{1} = 7$

Ответ: 7

2) $(\sqrt{0,75} + 3\sqrt{\frac{1}{27}} - \sqrt{6,75}) \cdot \sqrt{3}$

Решение

Упростим каждый член в скобках, приведя десятичные и обыкновенные дроби к виду, удобному для извлечения корня. Общий радикал будет $\sqrt{3}$.

$\sqrt{0,75} = \sqrt{\frac{75}{100}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$3\sqrt{\frac{1}{27}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{27}} = 3 \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sqrt{6,75} = \sqrt{\frac{675}{100}} = \sqrt{\frac{27 \cdot 25}{4 \cdot 25}} = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2}) \cdot \sqrt{3}$

Вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки внутри скобок:

$(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{3}{2})\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\frac{3 + 2 - 9}{6}) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})$

$(\frac{-4}{6}) \cdot 3 = -\frac{2}{3} \cdot 3 = -2$

Ответ: -2

3) $(\sqrt[3]{\frac{1}{6}} - \sqrt[3]{36} + \sqrt[3]{4,5}) \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

Решение

Вместо упрощения каждого члена в скобках, раскроем скобки, умножив каждый член на $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$.

$(\sqrt[3]{\frac{1}{6}} - \sqrt[3]{36} + \sqrt[3]{4,5}) \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{4}} = \sqrt[3]{\frac{1}{6}} \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{4}} - \sqrt[3]{36} \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{4}} + \sqrt[3]{4,5} \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

Вычислим каждое произведение отдельно:

$\sqrt[3]{\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt[3]{\frac{3}{24}} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

$\sqrt[3]{36 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt[3]{\frac{36 \cdot 3}{4}} = \sqrt[3]{9 \cdot 3} = \sqrt[3]{27} = 3$

$\sqrt[3]{4,5 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt[3]{\frac{9}{2} \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$

Теперь сложим полученные результаты:

$\frac{1}{2} - 3 + \frac{3}{2} = (\frac{1}{2} + \frac{3}{2}) - 3 = \frac{4}{2} - 3 = 2 - 3 = -1$

Ответ: -1

4) $(\sqrt[4]{\frac{125}{27}} - \sqrt[4]{375} - \frac{1}{\sqrt[4]{135}}) \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}}$

Решение

Как и в предыдущем примере, раскроем скобки, умножив каждый член на $\sqrt[4]{\frac{5}{3}}$.

$(\sqrt[4]{\frac{125}{27}} - \sqrt[4]{375} - \frac{1}{\sqrt[4]{135}}) \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}} = \sqrt[4]{\frac{125}{27}} \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}} - \sqrt[4]{375} \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}} - \frac{1}{\sqrt[4]{135}} \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}}$

Вычислим каждое произведение отдельно. Для удобства представим числа в виде степеней простых чисел.

$\sqrt[4]{\frac{125}{27} \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt[4]{\frac{5^3}{3^3} \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt[4]{\frac{5^4}{3^4}} = \frac{5}{3}$

$\sqrt[4]{375 \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt[4]{(125 \cdot 3) \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt[4]{125 \cdot 5} = \sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$

$\frac{1}{\sqrt[4]{135}} \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}} = \sqrt[4]{\frac{1}{135} \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt[4]{\frac{5}{135 \cdot 3}} = \sqrt[4]{\frac{5}{405}} = \sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \sqrt[4]{\frac{1}{3^4}} = \frac{1}{3}$

Теперь сложим полученные результаты:

$\frac{5}{3} - 5 - \frac{1}{3} = (\frac{5}{3} - \frac{1}{3}) - 5 = \frac{4}{3} - 5 = \frac{4}{3} - \frac{15}{3} = -\frac{11}{3}$

Ответ: $-\frac{11}{3}$