Номер 102, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

102. Упростите:

1) $ \frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}} + b^{\frac{1}{2}} $, $ a > 0, b > 0; $

2) $ \frac{x^{\frac{2}{3}}-y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}}} $, $ x \neq y; $

3) $ \left(a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{3}{2}} - \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2}} $, $ a > 0, b > 0; $

4) $ \left(a\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{2}} + b \cdot \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2}} - 2 (ab)^{\frac{1}{2}}\right) \cdot (ab)^{\frac{1}{2}} $, $ a > 0, b > 0. $

1)Решение:
Представим числитель $a-b$ как разность квадратов, учитывая, что $a > 0$ и $b > 0$:
$a-b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$.
Теперь подставим это разложение в исходное выражение:
$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} + b^{\frac{1}{2}} $
Сократим дробь на общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$, который не равен нулю, так как $a>0, b>0$:
$ (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) + b^{\frac{1}{2}} $
Приводим подобные слагаемые:
$ a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} $
Ответ: $a^{\frac{1}{2}}$.

2)Решение:
Числитель $x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}}$ можно представить как разность квадратов: $x^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}})^2$ и $y^{\frac{2}{3}} = (y^{\frac{1}{3}})^2$.
$ x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}})^2 - (y^{\frac{1}{3}})^2 = (x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}) $
Подставим разложение в исходную дробь:
$ \frac{(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}} $
По условию $x \neq y$, следовательно $x^{\frac{1}{3}} \neq y^{\frac{1}{3}}$, поэтому знаменатель не равен нулю. Сокращаем дробь на $(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})$:
$ x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}} $
Ответ: $x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}$.

3)Решение:
Раскроем скобки, умножив каждый член выражения в скобках на множитель $\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$.
Выполним умножение для каждого члена по отдельности:
1. $ a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{2}} b^{\frac{2}{2}} = ab $.
2. $ a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} b^{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}} = a^0 b^{\frac{4}{2}} = 1 \cdot b^2 = b^2 $.
3. $ -\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2}} = - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = -1 $.
Теперь сложим полученные результаты:
$ ab + b^2 - 1 $
Ответ: $ab + b^2 - 1$.

4)Решение:
Раскроем скобки, умножив каждый член выражения в скобках на $(ab)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$.
Упростим каждый член по отдельности:
1. $ a\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot (ab)^{\frac{1}{2}} = a \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}} \cdot a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} \cdot b^{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = a^2 b^0 = a^2 $.
2. $ b\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot (ab)^{\frac{1}{2}} = b \cdot \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} \cdot a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = b^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = b^2 a^0 = b^2 $.
3. $ -2(ab)^{\frac{1}{2}} \cdot (ab)^{\frac{1}{2}} = -2(ab)^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = -2(ab)^1 = -2ab $.
Соберем все члены вместе:
$ a^2 + b^2 - 2ab $
Полученное выражение является формулой квадрата разности:
$ (a-b)^2 $
Ответ: $(a-b)^2$.