Номер 95, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

95.

1) $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} + 1;$

2) $c^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{4}};$

3) $5 - 5^{\frac{2}{3}};$

4) $x + y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}.$

1)

Дано:

Выражение $a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} + 1$.

Найти:

Разложить данное выражение на множители.

Решение:

Для разложения на множители применим метод группировки. Сгруппируем первый и второй члены, а также третий и четвертый:

$(a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}) + (-b^{\frac{1}{3}} + 1)$.

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы выносим $a^{\frac{1}{3}}$, из второй -1, чтобы получить одинаковое выражение в скобках:

$a^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{3}} - 1) - 1(b^{\frac{1}{3}} - 1)$.

Теперь вынесем общий множитель $(b^{\frac{1}{3}} - 1)$ за скобки:

$(a^{\frac{1}{3}} - 1)(b^{\frac{1}{3}} - 1)$.

Ответ: $(a^{\frac{1}{3}} - 1)(b^{\frac{1}{3}} - 1)$.

2)

Дано:

Выражение $c^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{4}}$.

Найти:

Разложить данное выражение на множители.

Решение:

Для разложения на множители найдем общий множитель. Представим $c^{\frac{1}{2}}$ как степень с основанием $c^{\frac{1}{4}}$. Так как $(c^m)^n = c^{mn}$, то $c^{\frac{1}{2}} = (c^{\frac{1}{4}})^2$.

Выражение примет вид: $(c^{\frac{1}{4}})^2 + c^{\frac{1}{4}}$.

Вынесем общий множитель $c^{\frac{1}{4}}$ за скобки:

$c^{\frac{1}{4}}(c^{\frac{1}{4}} + 1)$.

Ответ: $c^{\frac{1}{4}}(c^{\frac{1}{4}} + 1)$.

3)

Дано:

Выражение $5 - 5^{\frac{2}{3}}$.

Найти:

Разложить данное выражение на множители.

Решение:

Представим число 5 как $5^1$. Выражение примет вид: $5^1 - 5^{\frac{2}{3}}$.

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $5^{\frac{2}{3}}$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m / a^n = a^{m-n}$).

$5^{\frac{2}{3}}(5^{1 - \frac{2}{3}} - 5^{\frac{2}{3} - \frac{2}{3}}) = 5^{\frac{2}{3}}(5^{\frac{1}{3}} - 5^0)$.

Так как любое число в нулевой степени равно 1 (при условии, что число не ноль), то $5^0=1$. Получаем:

$5^{\frac{2}{3}}(5^{\frac{1}{3}} - 1)$.

Ответ: $5^{\frac{2}{3}}(5^{\frac{1}{3}} - 1)$.

4)

Дано:

Выражение $x + y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$.

Найти:

Разложить данное выражение на множители.

Решение:

Применим метод группировки. Перегруппируем члены выражения для удобства:

$(x + x^{\frac{1}{2}}) + (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$.

Представим $x$ как $(x^{\frac{1}{2}})^2$. Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы выносим $x^{\frac{1}{2}}$, из второй $y^{\frac{1}{2}}$:

$x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 1) + y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 1)$.

Теперь в выражении есть общий множитель $(x^{\frac{1}{2}} + 1)$, который мы выносим за скобки:

$(x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$.

Ответ: $(x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$.