Номер 101, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

101. Найдите область определения выражения:

1) $(x + 1)^{\frac{3}{7}};

2) $x^{\frac{3}{5}};

3) $x^{-\frac{3}{4}};

4) $(x - 3)^{\frac{2}{3}}.

1) $(x+1)^{\frac{3}{7}}$

Область определения степенной функции с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}}$ зависит от знаменателя $n$. Выражение можно представить в виде корня: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

В данном случае выражение $(x+1)^{\frac{3}{7}}$ равносильно $\sqrt[7]{(x+1)^3}$.

Поскольку показатель корня $n=7$ является нечетным числом, корень определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Выражение $(x+1)^3$ определено для всех действительных $x$.

Следовательно, область определения выражения - все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) $x^{\frac{3}{5}}$

Данное выражение можно записать в виде корня: $x^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{x^3}$.

Знаменатель показателя степени (показатель корня) равен 5, что является нечетным числом. Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения.

Выражение $x^3$ определено для всех действительных $x$.

Таким образом, область определения - все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) $x^{-\frac{3}{4}}$

Отрицательный показатель степени означает обратную величину: $x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$.

Рассмотрим знаменатель $x^{\frac{3}{4}}$. Его можно представить в виде корня: $x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3}$.

Знаменатель показателя степени (показатель корня) равен 4, что является четным числом. Корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Поэтому должно выполняться условие $x^3 \ge 0$, что равносильно $x \ge 0$.

Кроме того, знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x^{\frac{3}{4}} \neq 0$, что означает $x \neq 0$.

Объединяя оба условия, $x \ge 0$ и $x \neq 0$, получаем, что $x$ должен быть строго больше нуля.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

4) $(x-3)^{\frac{2}{3}}$

Данное выражение можно записать в виде корня: $(x-3)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(x-3)^2}$.

Знаменатель показателя степени (показатель корня) равен 3, что является нечетным числом. Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения.

Подкоренное выражение $(x-3)^2$ определено для всех действительных $x$.

Следовательно, область определения - все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.