Номер 96, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Сократите дробь (96–97):

96. 1) $ \frac{x - y}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} $;

2) $ \frac{x - 8}{x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} + 4} $;

3) $ \frac{x - 16}{x^{\frac{1}{2}} - 4} $;

4) $ \frac{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a + b} $.

96. 1)

Решение:
Исходная дробь: $ \frac{x - y}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} $.
Чтобы сократить дробь, разложим числитель на множители. Представим $x$ и $y$ как квадраты выражений $x^{\frac{1}{2}}$ и $y^{\frac{1}{2}}$ соответственно:
$x = (x^{\frac{1}{2}})^2$ и $y = (y^{\frac{1}{2}})^2$.
Тогда числитель примет вид разности квадратов: $x - y = (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2$.
Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$(x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$ \frac{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} $.
Сокращаем общий множитель $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$ в числителе и знаменателе:
$x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$.

2)

Решение:
Исходная дробь: $ \frac{x - 8}{x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} + 4} $.
Для сокращения дроби разложим числитель на множители. Представим $x$ и $8$ как кубы выражений $x^{\frac{1}{3}}$ и $2$ соответственно:
$x = (x^{\frac{1}{3}})^3$ и $8 = 2^3$.
Тогда числитель примет вид разности кубов: $x - 8 = (x^{\frac{1}{3}})^3 - 2^3$.
Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$(x^{\frac{1}{3}})^3 - 2^3 = (x^{\frac{1}{3}} - 2)((x^{\frac{1}{3}})^2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + 2^2) = (x^{\frac{1}{3}} - 2)(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} + 4)$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$ \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 2)(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} + 4)}{x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} + 4} $.
Сокращаем общий множитель $(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} + 4)$ в числителе и знаменателе:
$x^{\frac{1}{3}} - 2$.
Ответ: $x^{\frac{1}{3}} - 2$.

3)

Решение:
Исходная дробь: $ \frac{x - 16}{x^{\frac{1}{2}} - 4} $.
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов. Представим $x$ и $16$ как квадраты выражений $x^{\frac{1}{2}}$ и $4$ соответственно:
$x = (x^{\frac{1}{2}})^2$ и $16 = 4^2$.
Тогда числитель примет вид: $x - 16 = (x^{\frac{1}{2}})^2 - 4^2$.
Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$(x^{\frac{1}{2}})^2 - 4^2 = (x^{\frac{1}{2}} - 4)(x^{\frac{1}{2}} + 4)$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$ \frac{(x^{\frac{1}{2}} - 4)(x^{\frac{1}{2}} + 4)}{x^{\frac{1}{2}} - 4} $.
Сокращаем общий множитель $(x^{\frac{1}{2}} - 4)$ в числителе и знаменателе:
$x^{\frac{1}{2}} + 4$.
Ответ: $x^{\frac{1}{2}} + 4$.

4)

Решение:
Исходная дробь: $ \frac{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a + b} $.
Чтобы сократить дробь, разложим на множители знаменатель. Представим $a$ и $b$ как кубы выражений $a^{\frac{1}{3}}$ и $b^{\frac{1}{3}}$ соответственно:
$a = (a^{\frac{1}{3}})^3$ и $b = (b^{\frac{1}{3}})^3$.
Тогда знаменатель примет вид суммы кубов: $a + b = (a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3$.
Используем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$:
$(a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})((a^{\frac{1}{3}})^2 - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2) = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$ \frac{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})} $.
Сокращаем общий множитель $(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$ в числителе и знаменателе:
$ \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} $.
Ответ: $ \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} $.