Номер 92, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Найдите значения выражений (92–93):

92. 1) $81^{0.5}$;

2) $\left(\frac{256}{3^8}\right)^{\frac{1}{8}}$;

3) $16^{\frac{7}{4}}$;

4) $\left(\frac{27^3}{125^6}\right)^{\frac{2}{9}}$.

1)

Для вычисления значения выражения $81^{0.5}$ представим десятичную степень в виде обыкновенной дроби: $0.5 = \frac{1}{2}$.

Возведение в степень $\frac{1}{2}$ является операцией, эквивалентной извлечению квадратного корня.

Следовательно, выражение можно записать так:

$81^{0.5} = 81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9$, поскольку $9 \cdot 9 = 81$.

Ответ: 9.

2)

Для вычисления значения выражения $(\frac{256}{3^8})^{\frac{1}{8}}$ применим свойство степени для дроби $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:

$(\frac{256}{3^8})^{\frac{1}{8}} = \frac{256^{\frac{1}{8}}}{(3^8)^{\frac{1}{8}}}$

Теперь вычислим числитель и знаменатель по отдельности. Для числителя представим число 256 как степень двойки: $256 = 2^8$.

$256^{\frac{1}{8}} = (2^8)^{\frac{1}{8}}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

В числителе: $(2^8)^{\frac{1}{8}} = 2^{8 \cdot \frac{1}{8}} = 2^1 = 2$.

В знаменателе: $(3^8)^{\frac{1}{8}} = 3^{8 \cdot \frac{1}{8}} = 3^1 = 3$.

В результате получаем дробь:

$\frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

3)

Для вычисления значения выражения $16^{\frac{7}{4}}$ воспользуемся свойством степени с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m = (\sqrt[n]{a})^m$.

$16^{\frac{7}{4}} = (16^{\frac{1}{4}})^7 = (\sqrt[4]{16})^7$.

Находим корень четвертой степени из 16. Число, которое при возведении в четвертую степень дает 16, это 2, так как $2^4 = 16$.

$\sqrt[4]{16} = 2$.

Подставляем найденное значение обратно в выражение:

$(\sqrt[4]{16})^7 = 2^7 = 128$.

Ответ: 128.

4)

Для вычисления значения выражения $(\frac{27^3}{125^6})^{\frac{2}{9}}$ сначала представим основания степеней 27 и 125 в виде степеней простых чисел:

$27 = 3^3$

$125 = 5^3$

Подставим эти представления в исходное выражение:

$(\frac{(3^3)^3}{(5^3)^6})^{\frac{2}{9}}$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ для выражений в числителе и знаменателе внутри скобок:

$(\frac{3^{3 \cdot 3}}{5^{3 \cdot 6}})^{\frac{2}{9}} = (\frac{3^9}{5^{18}})^{\frac{2}{9}}$

Теперь применим свойство степени для дроби $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и снова свойство возведения степени в степень:

$\frac{(3^9)^{\frac{2}{9}}}{(5^{18})^{\frac{2}{9}}} = \frac{3^{9 \cdot \frac{2}{9}}}{5^{18 \cdot \frac{2}{9}}} = \frac{3^2}{5^4}$

Осталось вычислить полученные степени:

$3^2 = 9$

$5^4 = 625$

Таким образом, итоговое значение выражения равно $\frac{9}{625}$.

Ответ: $\frac{9}{625}$.