Номер 77, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

77.1) $16x^4 - 1 = 0;$

2) $0.01x^3 + 10 = 0;$

3) $x^7 + 128 = 0;$

4) $x^6 - 64 = 0.$

1)

Дано:

Уравнение $16x^4 - 1 = 0$.

Найти:

Действительные корни уравнения.

Решение:

Это уравнение вида $ax^n+b=0$. Для его решения выразим $x^n$.

Перенесём свободный член (-1) в правую часть уравнения, изменив его знак:

$16x^4 = 1$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^4$, то есть на 16:

$x^4 = \frac{1}{16}$

Так как показатель степени $n=4$ является чётным числом, а правая часть уравнения положительна, уравнение имеет два действительных корня. Чтобы найти их, извлечём корень четвёртой степени из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$

Вычисляем корень:

$x = \pm\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}} = \pm\frac{1}{2}$

Таким образом, получаем два корня: $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $x_1 = 0,5$; $x_2 = -0,5$.

2)

Дано:

Уравнение $0,01x^3 + 10 = 0$.

Найти:

Действительный корень уравнения.

Решение:

Перенесём свободный член (10) в правую часть уравнения:

$0,01x^3 = -10$

Разделим обе части уравнения на 0,01. Деление на 0,01 эквивалентно умножению на 100:

$x^3 = \frac{-10}{0,01} = -10 \cdot 100 = -1000$

Так как показатель степени $n=3$ является нечётным числом, уравнение имеет один действительный корень. Извлечём кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{-1000}$

Поскольку $(-10) \cdot (-10) \cdot (-10) = -1000$, корень равен -10.

$x = -10$

Ответ: $x = -10$.

3)

Дано:

Уравнение $x^7 + 128 = 0$.

Найти:

Действительный корень уравнения.

Решение:

Перенесём свободный член (128) в правую часть уравнения:

$x^7 = -128$

Так как показатель степени $n=7$ является нечётным числом, уравнение имеет один действительный корень. Извлечём корень седьмой степени из обеих частей:

$x = \sqrt[7]{-128}$

Подберём число, седьмая степень которого равна -128. Мы знаем, что $2^7 = 128$. Следовательно, $(-2)^7 = -128$.

$x = -2$

Ответ: $x = -2$.

4)

Дано:

Уравнение $x^6 - 64 = 0$.

Найти:

Действительные корни уравнения.

Решение:

Перенесём свободный член (-64) в правую часть уравнения:

$x^6 = 64$

Так как показатель степени $n=6$ является чётным числом, а правая часть уравнения положительна, уравнение имеет два действительных корня. Извлечём корень шестой степени из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt[6]{64}$

Мы знаем, что $2^6 = 64$.

$x = \pm2$

Таким образом, получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $x_1 = 2$; $x_2 = -2$.