Номер 71, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

71.1) $y = x^2 - 8x + 12$, $y = -x^2 + 8x - 18;$

2) $y = x^2 + 6x + 5$, $y = -x^2 - 6x - 11;$

3) $y = x^2 - 4x - 1$, $y = -x^2 - 4x + 7;$

4) $y = x^2 + 3x - 5$, $y = -x^2 + 3x - 3.$

Дано:

Четыре пары уравнений квадратичных функций:

1) $y = x^2 - 8x + 12$ и $y = -x^2 + 8x - 18$

2) $y = x^2 + 6x + 5$ и $y = -x^2 - 6x - 11$

3) $y = x^2 - 4x - 1$ и $y = -x^2 - 4x + 7$

4) $y = x^2 + 3x - 5$ и $y = -x^2 + 3x - 3$

Найти:

Координаты точек пересечения графиков для каждой пары функций.

Решение:

Для нахождения точек пересечения графиков двух функций необходимо решить систему, состоящую из уравнений этих функций. Поскольку в каждой паре левые части уравнений равны ($y$), мы можем приравнять их правые части и найти абсциссы ($x$) точек пересечения. Затем, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений, мы найдем соответствующие ординаты ($y$).

1) $y = x^2 - 8x + 12$ и $y = -x^2 + 8x - 18$

Приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 8x + 12 = -x^2 + 8x - 18$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$x^2 - 8x + 12 + x^2 - 8x + 18 = 0$

$2x^2 - 16x + 30 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Легко подобрать корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x_1$ и $x_2$ в уравнение $y = x^2 - 8x + 12$:

При $x_1 = 3$: $y_1 = 3^2 - 8(3) + 12 = 9 - 24 + 12 = -3$.

При $x_2 = 5$: $y_2 = 5^2 - 8(5) + 12 = 25 - 40 + 12 = -3$.

Точки пересечения: $(3, -3)$ и $(5, -3)$.

Ответ: $(3, -3), (5, -3)$.

2) $y = x^2 + 6x + 5$ и $y = -x^2 - 6x - 11$

Приравняем правые части:

$x^2 + 6x + 5 = -x^2 - 6x - 11$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 + 6x + 5 + x^2 + 6x + 11 = 0$

$2x^2 + 12x + 16 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 + 6x + 8 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -6, а произведение равно 8. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $y$ для $y = x^2 + 6x + 5$:

При $x_1 = -2$: $y_1 = (-2)^2 + 6(-2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3$.

При $x_2 = -4$: $y_2 = (-4)^2 + 6(-4) + 5 = 16 - 24 + 5 = -3$.

Точки пересечения: $(-2, -3)$ и $(-4, -3)$.

Ответ: $(-2, -3), (-4, -3)$.

3) $y = x^2 - 4x - 1$ и $y = -x^2 - 4x + 7$

Приравняем правые части:

$x^2 - 4x - 1 = -x^2 - 4x + 7$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 - 4x - 1 + x^2 + 4x - 7 = 0$

$2x^2 - 8 = 0$

Решим неполное квадратное уравнение:

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$ для $y = x^2 - 4x - 1$:

При $x_1 = 2$: $y_1 = 2^2 - 4(2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$.

При $x_2 = -2$: $y_2 = (-2)^2 - 4(-2) - 1 = 4 + 8 - 1 = 11$.

Точки пересечения: $(2, -5)$ и $(-2, 11)$.

Ответ: $(2, -5), (-2, 11)$.

4) $y = x^2 + 3x - 5$ и $y = -x^2 + 3x - 3$

Приравняем правые части:

$x^2 + 3x - 5 = -x^2 + 3x - 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 + 3x - 5 + x^2 - 3x + 3 = 0$

$2x^2 - 2 = 0$

Решим неполное квадратное уравнение:

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1$

$x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$ для $y = x^2 + 3x - 5$:

При $x_1 = 1$: $y_1 = 1^2 + 3(1) - 5 = 1 + 3 - 5 = -1$.

При $x_2 = -1$: $y_2 = (-1)^2 + 3(-1) - 5 = 1 - 3 - 5 = -7$.

Точки пересечения: $(1, -1)$ и $(-1, -7)$.

Ответ: $(1, -1), (-1, -7)$.