Номер 68, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

68. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной:

1. Графиком функции $y = 2x^3$, касательной к этому графику в точке $(-1; -2)$ и прямой $x = 1$.

2. Прямой $y = 0$, параболой $y = 2x - x^2$ и касательной, проведенной к этой параболе в точке $(\frac{1}{2}; \frac{3}{4})$.

1. Графиком функции $y = 2x^3$, касательной к этому графику в точке (–1; –2) и прямой $x=1$.

Дано:

Функция: $f(x) = 2x^3$

Точка касания: $M(x_0, y_0) = (-1, -2)$

Вертикальная прямая: $x = 1$

Найти:

Площадь $S$ фигуры, ограниченной данными линиями.

Решение:

1. Найдём уравнение касательной к графику функции $f(x) = 2x^3$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$.

Уравнение касательной в общем виде: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Значение функции в точке касания: $f(-1) = 2(-1)^3 = -2$.

Найдём производную функции: $f'(x) = (2x^3)' = 6x^2$.

Найдём значение производной в точке касания (угловой коэффициент касательной): $f'(-1) = 6(-1)^2 = 6$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = -2 + 6(x - (-1))$

$y = -2 + 6(x + 1)$

$y = -2 + 6x + 6$

$y = 6x + 4$

Итак, уравнение касательной: $y_t = 6x + 4$.

2. Фигура ограничена кривой $y_c = 2x^3$, касательной $y_t = 6x + 4$, и вертикальными прямыми $x = -1$ (абсцисса точки касания) и $x = 1$. Площадь такой фигуры вычисляется с помощью определённого интеграла.

Для вычисления площади необходимо определить, какая из функций ($y_c$ или $y_t$) принимает большие значения на интервале $[-1, 1]$. Для этого рассмотрим их разность: $g(x) = y_t - y_c = (6x + 4) - 2x^3$.

Так как график функции $f(x)=2x^3$ является выпуклым вверх (вогнутым) на интервале $(-\infty, 0)$, касательная в любой точке этого интервала (включая $x=-1$) будет лежать выше графика функции. На интервале $(0, \infty)$ функция выпукла вниз, и касательная, проведенная в точке из этого интервала, будет лежать ниже графика. Так как точка касания $x=-1$, а интервал интегрирования $[-1, 1]$ включает в себя и положительные, и отрицательные значения, нужно быть уверенным, что касательная лежит выше на всем интервале.Найдем точки пересечения касательной и кривой:$2x^3 = 6x+4$$2x^3 - 6x - 4 = 0$$x^3 - 3x - 2 = 0$Мы знаем, что $x=-1$ является корнем (точкой касания), значит, это корень кратности не менее 2. Разделим многочлен на $(x+1)^2 = x^2+2x+1$:$(x^3 - 3x - 2) : (x^2+2x+1) = x-2$.Таким образом, $x^3 - 3x - 2 = (x+1)^2(x-2)$. Корни: $x=-1$ (двойной корень) и $x=2$.На интервале $[-1, 1]$ выражение $(x-2)$ отрицательно, а $(x+1)^2$ неотрицательно. Следовательно, $(x+1)^2(x-2) \le 0$ на этом интервале.Это означает, что $x^3 - 3x - 2 \le 0$, или $2x^3 \le 6x+4$. То есть, на интервале $[-1, 1]$ касательная $y=6x+4$ находится выше или на графике функции $y=2x^3$.

3. Площадь $S$ равна интегралу от разности верхней и нижней функций в пределах от $x=-1$ до $x=1$:

$S = \int_{-1}^{1} ((6x+4) - 2x^3) dx = \int_{-1}^{1} (-2x^3 + 6x + 4) dx$

Вычислим интеграл:

$S = [-\frac{2x^4}{4} + \frac{6x^2}{2} + 4x]_{-1}^{1} = [-\frac{x^4}{2} + 3x^2 + 4x]_{-1}^{1}$

$S = (-\frac{1^4}{2} + 3(1)^2 + 4(1)) - (-\frac{(-1)^4}{2} + 3(-1)^2 + 4(-1))$

$S = (-\frac{1}{2} + 3 + 4) - (-\frac{1}{2} + 3 - 4) = (7 - \frac{1}{2}) - (-1 - \frac{1}{2}) = \frac{13}{2} - (-\frac{3}{2}) = \frac{13+3}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Ответ: 8.

2. Прямой y=0, параболой $y=2x-x^2$ и касательной, проведенной к этой параболе в точке $(\frac{1}{2}; \frac{3}{4})$.

Дано:

Прямая: $y = 0$ (ось Ox)

Парабола: $f(x) = 2x - x^2$

Точка касания: $M(x_0, y_0) = (\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$

Найти:

Площадь $S$ фигуры, ограниченной данными линиями.

Решение:

1. Найдём уравнение касательной к параболе $f(x) = 2x - x^2$ в точке с абсциссой $x_0 = \frac{1}{2}$.

Производная функции: $f'(x) = (2x - x^2)' = 2 - 2x$.

Значение производной в точке касания: $f'(\frac{1}{2}) = 2 - 2(\frac{1}{2}) = 2 - 1 = 1$.

Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

$y = \frac{3}{4} + 1(x - \frac{1}{2}) = x - \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = x + \frac{1}{4}$

Уравнение касательной: $y_t = x + \frac{1}{4}$.

2. Определим границы искомой фигуры. Фигура ограничена снизу прямой $y=0$ (осью Ox). Сверху она ограничена касательной $y_t = x + \frac{1}{4}$ и параболой $y_p = 2x - x^2$.

Найдём точки пересечения этих линий с осью Ox:

Парабола: $2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2-x)=0 \Rightarrow x=0, x=2$.

Касательная: $x + \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}$.

Точка касания параболы и касательной имеет абсциссу $x=\frac{1}{2}$.

Таким образом, искомая фигура состоит из двух частей:

• $S_1$: фигура под касательной $y = x + \frac{1}{4}$ на интервале от $x = -\frac{1}{4}$ до $x = \frac{1}{2}$.
• $S_2$: фигура под параболой $y = 2x - x^2$ на интервале от $x = \frac{1}{2}$ до $x = 2$.

3. Вычислим площади $S_1$ и $S_2$.

$S_1 = \int_{-1/4}^{1/2} (x + \frac{1}{4}) dx = [\frac{x^2}{2} + \frac{x}{4}]_{-1/4}^{1/2}$

$S_1 = (\frac{(1/2)^2}{2} + \frac{1/2}{4}) - (\frac{(-1/4)^2}{2} + \frac{-1/4}{4}) = (\frac{1/8}{ } + \frac{1}{8}) - (\frac{1/16}{2} - \frac{1}{16}) = \frac{1}{4} - (\frac{1}{32} - \frac{2}{32}) = \frac{1}{4} - (-\frac{1}{32}) = \frac{8}{32} + \frac{1}{32} = \frac{9}{32}$

$S_2 = \int_{1/2}^{2} (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{1/2}^{2}$

$S_2 = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - ((\frac{1}{2})^2 - \frac{(1/2)^3}{3}) = (4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{24}) = \frac{4}{3} - (\frac{6}{24} - \frac{1}{24}) = \frac{4}{3} - \frac{5}{24} = \frac{32}{24} - \frac{5}{24} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$

Общая площадь $S = S_1 + S_2$:

$S = \frac{9}{32} + \frac{9}{8} = \frac{9}{32} + \frac{36}{32} = \frac{45}{32}$

Ответ: $\frac{45}{32}$.