Страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

63. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, заданной на отрезке $[a; b]$, и осью $Ox$:

1) $f(x) = \sin x$, $[0; 2\pi]$;

2) $f(x) = \cos x$, $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$.

1) f(x) = sinx, [0; 2π]

Дано:

Функция $f(x) = \sin(x)$

Отрезок $[a; b] = [0; 2\pi]$

Найти:

Площадь $S$ фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$, $x=2\pi$.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла от модуля функции:

$S = \int_a^b |f(x)| dx$

Для данной задачи имеем:

$S = \int_0^{2\pi} |\sin(x)| dx$

Необходимо учесть знак функции $\sin(x)$ на отрезке $[0; 2\pi]$:

1. На отрезке $[0; \pi]$ функция $\sin(x) \ge 0$, поэтому $|\sin(x)| = \sin(x)$.

2. На отрезке $[\pi; 2\pi]$ функция $\sin(x) \le 0$, поэтому $|\sin(x)| = -\sin(x)$.

График функции и искомая площадь изображены на рисунке:

В соответствии с этим, интеграл разбивается на два:

$S = \int_0^\pi \sin(x) dx + \int_\pi^{2\pi} (-\sin(x)) dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности. Первообразная для $\sin(x)$ есть $-\cos(x)$, а для $-\sin(x)$ есть $\cos(x)$.

$\int_0^\pi \sin(x) dx = [-\cos(x)]_0^\pi = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$

$\int_\pi^{2\pi} (-\sin(x)) dx = [\cos(x)]_\pi^{2\pi} = \cos(2\pi) - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2$

Общая площадь равна сумме площадей двух участков:

$S = 2 + 2 = 4$

Ответ: 4

2) f(x) = cosx, [-π/2; 3π/2]

Дано:

Функция $f(x) = \cos(x)$

Отрезок $[a; b] = [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$

Найти:

Площадь $S$ фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=-\frac{\pi}{2}$, $x=\frac{3\pi}{2}$.

Решение:

Площадь фигуры вычисляется по формуле:

$S = \int_a^b |f(x)| dx$

В данном случае:

$S = \int_{-\pi/2}^{3\pi/2} |\cos(x)| dx$

Рассмотрим знак функции $\cos(x)$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$:

1. На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ функция $\cos(x) \ge 0$, поэтому $|\cos(x)| = \cos(x)$.

2. На отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ функция $\cos(x) \le 0$, поэтому $|\cos(x)| = -\cos(x)$.

График функции и искомая площадь изображены на рисунке:

Разобьем интеграл на две части в соответствии со знаком функции:

$S = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(x) dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-\cos(x)) dx$

Вычислим каждый интеграл. Первообразная для $\cos(x)$ есть $\sin(x)$, а для $-\cos(x)$ есть $-\sin(x)$.

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(x) dx = [\sin(x)]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2$

$\int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-\cos(x)) dx = [-\sin(x)]_{\pi/2}^{3\pi/2} = -\sin(\frac{3\pi}{2}) - (-\sin(\frac{\pi}{2})) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$

Общая площадь равна сумме площадей:

$S = 2 + 2 = 4$

Ответ: 4

64. 1. Найдите объем тела, полученного при вращении параболы $y = x^2$ от точки $x = 0$ до точки $x = 3$ вокруг оси абсцисс.

2. Найдите объем тела, полученного при вращении параболы $y = 3x^2$ от точки $x = 1$ до точки $x = 2$ вокруг оси абсцисс.

1. Найдите объем тела, полученного при вращении параболы y = x² от точки x = 0 до точки x = 3 вокруг оси абсцисс.
Дано:
Функция: $y = f(x) = x^2$
Пределы интегрирования: $a = 0$, $b = 3$
Ось вращения: ось абсцисс (Ox)

Найти:
Объем тела вращения $V$.

Решение:
Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью Ox и прямыми $x=a$ и $x=b$, вокруг оси абсцисс, вычисляется по формуле:
$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$
Подставим в формулу нашу функцию $y = x^2$ и пределы интегрирования от 0 до 3:
$V = \pi \int_{0}^{3} (x^2)^2 dx = \pi \int_{0}^{3} x^4 dx$
Найдем первообразную для функции $x^4$, которая равна $\frac{x^5}{5}$.
Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{3} = \pi \left( \frac{3^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right)$
Выполним вычисления:
$3^5 = 243$
$V = \pi \left( \frac{243}{5} - 0 \right) = \frac{243\pi}{5}$
Ответ: $V = \frac{243\pi}{5}$

2. Найдите объем тела, полученного при вращении параболы y = 3x² от точки x = 1 до точки x = 2 вокруг оси абсцисс.
Дано:
Функция: $y = f(x) = 3x^2$
Пределы интегрирования: $a = 1$, $b = 2$
Ось вращения: ось абсцисс (Ox)

Найти:
Объем тела вращения $V$.

Решение:
Используем ту же формулу для объема тела вращения:
$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$
Подставим в формулу нашу функцию $y = 3x^2$ и пределы интегрирования от 1 до 2:
$V = \pi \int_{1}^{2} (3x^2)^2 dx = \pi \int_{1}^{2} 9x^4 dx$
Вынесем константу 9 за знак интеграла:
$V = 9\pi \int_{1}^{2} x^4 dx$
Первообразная для $x^4$ равна $\frac{x^5}{5}$. Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$V = 9\pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{1}^{2} = 9\pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} \right)$
Выполним вычисления:
$2^5 = 32$
$1^5 = 1$
$V = 9\pi \left( \frac{32}{5} - \frac{1}{5} \right) = 9\pi \left( \frac{31}{5} \right) = \frac{279\pi}{5}$
Ответ: $V = \frac{279\pi}{5}$

65. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций

1) $y = x + 1$ и $y = (x + 1)^3$;

2) $y = x^3$ и $y = 2x - x^3$.

1) Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций y = x + 1 и y = (x + 1)³

Дано:

Фигура ограничена графиками функций $y_1 = x + 1$ и $y_2 = (x + 1)^3$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций, необходимо сначала найти точки пересечения этих графиков. Для этого приравняем выражения для $y$:

$x + 1 = (x + 1)^3$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$(x + 1)^3 - (x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x + 1)((x + 1)^2 - 1) = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(x + 1)(x^2 + 2x + 1 - 1) = 0$

$(x + 1)(x^2 + 2x) = 0$

$(x + 1)x(x + 2) = 0$

Отсюда находим абсциссы точек пересечения:

$x_1 = -2$, $x_2 = -1$, $x_3 = 0$.

Графики пересекаются в трех точках, следовательно, они ограничивают две фигуры. Площадь искомой фигуры будет состоять из двух частей, так как знаки разности функций меняются в точке $x = -1$.

Определим, какая из функций больше на интервалах $[-2, -1]$ и $[-1, 0]$.

На интервале $[-2, -1]$, возьмем пробную точку $x = -1.5$:

$y_1(-1.5) = -1.5 + 1 = -0.5$

$y_2(-1.5) = (-1.5 + 1)^3 = (-0.5)^3 = -0.125$

Так как $-0.125 > -0.5$, то на интервале $[-2, -1]$ график функции $y = (x + 1)^3$ лежит выше графика $y = x + 1$.

На интервале $[-1, 0]$, возьмем пробную точку $x = -0.5$:

$y_1(-0.5) = -0.5 + 1 = 0.5$

$y_2(-0.5) = (-0.5 + 1)^3 = (0.5)^3 = 0.125$

Так как $0.5 > 0.125$, то на интервале $[-1, 0]$ график функции $y = x + 1$ лежит выше графика $y = (x + 1)^3$.

Площадь $S$ вычисляется как сумма двух интегралов:

$S = \int_{-2}^{-1} ((x+1)^3 - (x+1)) dx + \int_{-1}^{0} ((x+1) - (x+1)^3) dx$

Вычислим первый интеграл $S_1$:

$S_1 = \int_{-2}^{-1} ((x+1)^3 - (x+1)) dx = \left[ \frac{(x+1)^4}{4} - \frac{(x+1)^2}{2} \right]_{-2}^{-1}$

$= \left( \frac{(-1+1)^4}{4} - \frac{(-1+1)^2}{2} \right) - \left( \frac{(-2+1)^4}{4} - \frac{(-2+1)^2}{2} \right)$

$= (0 - 0) - \left( \frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^2}{2} \right) = - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4}$

Вычислим второй интеграл $S_2$:

$S_2 = \int_{-1}^{0} ((x+1) - (x+1)^3) dx = \left[ \frac{(x+1)^2}{2} - \frac{(x+1)^4}{4} \right]_{-1}^{0}$

$= \left( \frac{(0+1)^2}{2} - \frac{(0+1)^4}{4} \right) - \left( \frac{(-1+1)^2}{2} - \frac{(-1+1)^4}{4} \right)$

$= \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) - (0 - 0) = \frac{1}{4}$

Общая площадь:

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $S = \frac{1}{2}$.

2) Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций y = x³ и y = 2x - x³

Дано:

Фигура ограничена графиками функций $y_1 = x^3$ и $y_2 = 2x - x^3$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Сначала найдем абсциссы точек пересечения графиков функций, приравняв их:

$x^3 = 2x - x^3$

$2x^3 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x^2 - 1) = 0$

$2x(x - 1)(x + 1) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Фигура, площадь которой нужно найти, состоит из двух частей. Определим, какая функция больше на каждом из интервалов $[-1, 0]$ и $[0, 1]$.

На интервале $[-1, 0]$, возьмем пробную точку $x = -0.5$:

$y_1(-0.5) = (-0.5)^3 = -0.125$

$y_2(-0.5) = 2(-0.5) - (-0.5)^3 = -1 - (-0.125) = -0.875$

Так как $-0.125 > -0.875$, на интервале $[-1, 0]$ график $y = x^3$ лежит выше графика $y = 2x - x^3$.

На интервале $[0, 1]$, возьмем пробную точку $x = 0.5$:

$y_1(0.5) = (0.5)^3 = 0.125$

$y_2(0.5) = 2(0.5) - (0.5)^3 = 1 - 0.125 = 0.875$

Так как $0.875 > 0.125$, на интервале $[0, 1]$ график $y = 2x - x^3$ лежит выше графика $y = x^3$.

Площадь $S$ вычисляется как сумма интегралов:

$S = \int_{-1}^{0} (x^3 - (2x - x^3)) dx + \int_{0}^{1} ((2x - x^3) - x^3) dx$

$S = \int_{-1}^{0} (2x^3 - 2x) dx + \int_{0}^{1} (2x - 2x^3) dx$

Вычислим первый интеграл $S_1$:

$S_1 = \int_{-1}^{0} (2x^3 - 2x) dx = \left[ 2\frac{x^4}{4} - 2\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = \left[ \frac{x^4}{2} - x^2 \right]_{-1}^{0}$

$= \left( \frac{0^4}{2} - 0^2 \right) - \left( \frac{(-1)^4}{2} - (-1)^2 \right) = 0 - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = - \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$

Вычислим второй интеграл $S_2$:

$S_2 = \int_{0}^{1} (2x - 2x^3) dx = \left[ 2\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left[ x^2 - \frac{x^4}{2} \right]_{0}^{1}$

$= \left( 1^2 - \frac{1^4}{2} \right) - \left( 0^2 - \frac{0^4}{2} \right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Общая площадь:

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Ответ: $S = 1$.

Найдите объем тела, полученного при вращении гиперболы $y = \frac{2}{x}$ от точки $x = 1$ до точки $x = 3$ вокруг оси абсцисс.

2. Найдите объем тела, полученного при вращении гиперболы $y = \frac{3}{x}$ от точки $x = 1$ до точки $x = 2$ вокруг оси абсцисс.

1. Дано:

Функция (гипербола): $y = \frac{2}{x}$.

Пределы интегрирования по оси абсцисс: от $a = 1$ до $b = 3$.

Найти:

Объем тела, полученного при вращении гиперболы вокруг оси абсцисс.

Решение:

Объем тела, образованного вращением кривой $y = f(x)$ вокруг оси абсцисс на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В данном случае, функция $f(x) = \frac{2}{x}$, а пределы интегрирования $a = 1$ и $b = 3$.

Сначала найдем квадрат функции:

$[f(x)]^2 = \left(\frac{2}{x}\right)^2 = \frac{4}{x^2}$

Теперь подставим это выражение в формулу для объема и вычислим определенный интеграл:

$V = \pi \int_{1}^{3} \frac{4}{x^2} dx$

Вынесем константу $4\pi$ за знак интеграла:

$V = 4\pi \int_{1}^{3} \frac{1}{x^2} dx = 4\pi \int_{1}^{3} x^{-2} dx$

Для вычисления интеграла найдем первообразную функции $x^{-2}$. Используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} g(x) dx = G(b) - G(a)$, где $G(x)$ - первообразная для $g(x)$:

$V = 4\pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{3} = 4\pi \left( \left(-\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) \right)$

Упростим выражение в скобках:

$V = 4\pi \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) = 4\pi \left( \frac{2}{3} \right)$

Окончательно получаем объем:

$V = \frac{8\pi}{3}$

Ответ: $\frac{8\pi}{3}$ кубических единиц.

2. Дано:

Функция (гипербола): $y = \frac{3}{x}$.

Пределы интегрирования по оси абсцисс: от $a = 1$ до $b = 2$.

Найти:

Объем тела, полученного при вращении гиперболы вокруг оси абсцисс.

Решение:

Воспользуемся той же формулой для объема тела вращения:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

Здесь $f(x) = \frac{3}{x}$, $a = 1$, $b = 2$.

Найдем квадрат функции:

$[f(x)]^2 = \left(\frac{3}{x}\right)^2 = \frac{9}{x^2}$

Подставим в интеграл:

$V = \pi \int_{1}^{2} \frac{9}{x^2} dx$

Вынесем константу $9\pi$:

$V = 9\pi \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx = 9\pi \int_{1}^{2} x^{-2} dx$

Первообразная для $x^{-2}$ равна $-\frac{1}{x}$. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$V = 9\pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{2} = 9\pi \left( \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) \right)$

Упростим выражение:

$V = 9\pi \left( -\frac{1}{2} + 1 \right) = 9\pi \left( \frac{1}{2} \right)$

Окончательный результат:

$V = \frac{9\pi}{2}$

Ответ: $\frac{9\pi}{2}$ кубических единиц.

67. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = \cos x, y = \sin x, x = \frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{2};$

2) $y = 2 \cos x, y = 2 \sin x, x = 0, x = \frac{\pi}{4};$

3) $y = x, y = \frac{1}{x^2}, x = 2;$

4) $y = \frac{2}{x^2}, y = 2x, x = \frac{1}{2}.$

1) y = cosx, y = sinx, x = $\frac{\pi}{4}$, x = $\frac{\pi}{2}$

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y=\cos x$, $y=\sin x$, $x=\frac{\pi}{4}$, $x=\frac{\pi}{2}$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми $y=f(x)$, $y=g(x)$ и прямыми $x=a$, $x=b$, где $f(x) \ge g(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:

$S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$

В данном случае $a = \frac{\pi}{4}$ и $b = \frac{\pi}{2}$. Найдём, какая из функций больше на этом интервале. Сравним значения функций $\sin x$ и $\cos x$ на отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$.

В точке $x = \frac{\pi}{4}$ имеем $\sin(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

На интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$, функция $\sin x$ возрастает от $\frac{\sqrt{2}}{2}$ до 1, а функция $\cos x$ убывает от $\frac{\sqrt{2}}{2}$ до 0. Следовательно, на отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ выполняется неравенство $\sin x \ge \cos x$.

Таким образом, $f(x) = \sin x$ и $g(x) = \cos x$.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - \cos x) dx = [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{\pi/2} = (-\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(\frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4})) = (0 - 1) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = -1 - (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1$.

Ответ: $S = \sqrt{2} - 1$.

2) y = 2cosx, y = 2sinx, x = 0, x = $\frac{\pi}{4}$

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y=2\cos x$, $y=2\sin x$, $x=0$, $x=\frac{\pi}{4}$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

На отрезке $[0, \frac{\pi}{4}]$, сравним функции $2\cos x$ и $2\sin x$.

При $x=0$, $2\cos(0) = 2$, а $2\sin(0) = 0$.

При $x=\frac{\pi}{4}$, $2\cos(\frac{\pi}{4}) = 2\sin(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

На интервале $(0, \frac{\pi}{4})$ значение $\cos x$ больше $\sin x$, следовательно, $2\cos x \ge 2\sin x$ на всем отрезке $[0, \frac{\pi}{4}]$.

Таким образом, $f(x) = 2\cos x$ и $g(x) = 2\sin x$.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{0}^{\pi/4} (2\cos x - 2\sin x) dx = 2 \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) dx = 2 [\sin x + \cos x]_{0}^{\pi/4} = 2 ((\sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4})) - (\sin(0) + \cos(0))) = 2 ((\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0 + 1)) = 2(\sqrt{2} - 1)$.

Ответ: $S = 2\sqrt{2} - 2$.

3) y = x, y = $\frac{1}{x^2}$, x = 2

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y=x$, $y=\frac{1}{x^2}$, $x=2$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Для нахождения пределов интегрирования найдем точку пересечения кривых $y=x$ и $y=\frac{1}{x^2}$:

$x = \frac{1}{x^2} \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

Фигура ограничена линиями $y=x$, $y=\frac{1}{x^2}$ и $x=2$. Пределами интегрирования будут $x=1$ (точка пересечения) и $x=2$ (заданная прямая). Итак, $a=1$, $b=2$.

На отрезке $[1, 2]$ сравним функции. Возьмем любую точку из интервала, например $x=1.5$.

$y=x=1.5$.

$y=\frac{1}{x^2}=\frac{1}{1.5^2} = \frac{1}{2.25} \approx 0.44$.

Так как $1.5 > 0.44$, на отрезке $[1, 2]$ выполняется неравенство $x \ge \frac{1}{x^2}$.

Следовательно, $f(x)=x$ и $g(x)=\frac{1}{x^2}$.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{1}^{2} (x - \frac{1}{x^2}) dx = \int_{1}^{2} (x - x^{-2}) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^{-1}}{-1}]_{1}^{2} = [\frac{x^2}{2} + \frac{1}{x}]_{1}^{2} = (\frac{2^2}{2} + \frac{1}{2}) - (\frac{1^2}{2} + \frac{1}{1}) = (2 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} + 1) = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: $S = 1$.

4) y = $\frac{2}{x^2}$, y = 2x, x = $\frac{1}{2}$

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y=\frac{2}{x^2}$, $y=2x$, $x=\frac{1}{2}$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Найдем точку пересечения кривых $y=\frac{2}{x^2}$ и $y=2x$:

$\frac{2}{x^2} = 2x \implies 2 = 2x^3 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

Фигура ограничена линиями $y=\frac{2}{x^2}$, $y=2x$ и $x=\frac{1}{2}$. Пределами интегрирования будут $x=\frac{1}{2}$ (заданная прямая) и $x=1$ (точка пересечения). Итак, $a=1/2$, $b=1$.

На отрезке $[\frac{1}{2}, 1]$ сравним функции. Возьмем точку $x=0.75 = \frac{3}{4}$.

$y=2x = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$.

$y=\frac{2}{x^2} = \frac{2}{(3/4)^2} = \frac{2}{9/16} = \frac{32}{9} \approx 3.56$.

Так как $3.56 > 1.5$, на отрезке $[\frac{1}{2}, 1]$ выполняется неравенство $\frac{2}{x^2} \ge 2x$.

Следовательно, $f(x)=\frac{2}{x^2}$ и $g(x)=2x$.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{1/2}^{1} (\frac{2}{x^2} - 2x) dx = \int_{1/2}^{1} (2x^{-2} - 2x) dx = [-2x^{-1} - x^2]_{1/2}^{1} = [-\frac{2}{x} - x^2]_{1/2}^{1} = (-\frac{2}{1} - 1^2) - (-\frac{2}{1/2} - (\frac{1}{2})^2) = (-2 - 1) - (-4 - \frac{1}{4}) = -3 - (-\frac{17}{4}) = -3 + \frac{17}{4} = \frac{-12 + 17}{4} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $S = \frac{5}{4}$.

68. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной:

1. Графиком функции $y = 2x^3$, касательной к этому графику в точке $(-1; -2)$ и прямой $x = 1$.

2. Прямой $y = 0$, параболой $y = 2x - x^2$ и касательной, проведенной к этой параболе в точке $(\frac{1}{2}; \frac{3}{4})$.

1. Графиком функции $y = 2x^3$, касательной к этому графику в точке (–1; –2) и прямой $x=1$.

Дано:

Функция: $f(x) = 2x^3$

Точка касания: $M(x_0, y_0) = (-1, -2)$

Вертикальная прямая: $x = 1$

Найти:

Площадь $S$ фигуры, ограниченной данными линиями.

Решение:

1. Найдём уравнение касательной к графику функции $f(x) = 2x^3$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$.

Уравнение касательной в общем виде: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Значение функции в точке касания: $f(-1) = 2(-1)^3 = -2$.

Найдём производную функции: $f'(x) = (2x^3)' = 6x^2$.

Найдём значение производной в точке касания (угловой коэффициент касательной): $f'(-1) = 6(-1)^2 = 6$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = -2 + 6(x - (-1))$

$y = -2 + 6(x + 1)$

$y = -2 + 6x + 6$

$y = 6x + 4$

Итак, уравнение касательной: $y_t = 6x + 4$.

2. Фигура ограничена кривой $y_c = 2x^3$, касательной $y_t = 6x + 4$, и вертикальными прямыми $x = -1$ (абсцисса точки касания) и $x = 1$. Площадь такой фигуры вычисляется с помощью определённого интеграла.

Для вычисления площади необходимо определить, какая из функций ($y_c$ или $y_t$) принимает большие значения на интервале $[-1, 1]$. Для этого рассмотрим их разность: $g(x) = y_t - y_c = (6x + 4) - 2x^3$.

Так как график функции $f(x)=2x^3$ является выпуклым вверх (вогнутым) на интервале $(-\infty, 0)$, касательная в любой точке этого интервала (включая $x=-1$) будет лежать выше графика функции. На интервале $(0, \infty)$ функция выпукла вниз, и касательная, проведенная в точке из этого интервала, будет лежать ниже графика. Так как точка касания $x=-1$, а интервал интегрирования $[-1, 1]$ включает в себя и положительные, и отрицательные значения, нужно быть уверенным, что касательная лежит выше на всем интервале.Найдем точки пересечения касательной и кривой:$2x^3 = 6x+4$$2x^3 - 6x - 4 = 0$$x^3 - 3x - 2 = 0$Мы знаем, что $x=-1$ является корнем (точкой касания), значит, это корень кратности не менее 2. Разделим многочлен на $(x+1)^2 = x^2+2x+1$:$(x^3 - 3x - 2) : (x^2+2x+1) = x-2$.Таким образом, $x^3 - 3x - 2 = (x+1)^2(x-2)$. Корни: $x=-1$ (двойной корень) и $x=2$.На интервале $[-1, 1]$ выражение $(x-2)$ отрицательно, а $(x+1)^2$ неотрицательно. Следовательно, $(x+1)^2(x-2) \le 0$ на этом интервале.Это означает, что $x^3 - 3x - 2 \le 0$, или $2x^3 \le 6x+4$. То есть, на интервале $[-1, 1]$ касательная $y=6x+4$ находится выше или на графике функции $y=2x^3$.

3. Площадь $S$ равна интегралу от разности верхней и нижней функций в пределах от $x=-1$ до $x=1$:

$S = \int_{-1}^{1} ((6x+4) - 2x^3) dx = \int_{-1}^{1} (-2x^3 + 6x + 4) dx$

Вычислим интеграл:

$S = [-\frac{2x^4}{4} + \frac{6x^2}{2} + 4x]_{-1}^{1} = [-\frac{x^4}{2} + 3x^2 + 4x]_{-1}^{1}$

$S = (-\frac{1^4}{2} + 3(1)^2 + 4(1)) - (-\frac{(-1)^4}{2} + 3(-1)^2 + 4(-1))$

$S = (-\frac{1}{2} + 3 + 4) - (-\frac{1}{2} + 3 - 4) = (7 - \frac{1}{2}) - (-1 - \frac{1}{2}) = \frac{13}{2} - (-\frac{3}{2}) = \frac{13+3}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Ответ: 8.

2. Прямой y=0, параболой $y=2x-x^2$ и касательной, проведенной к этой параболе в точке $(\frac{1}{2}; \frac{3}{4})$.

Дано:

Прямая: $y = 0$ (ось Ox)

Парабола: $f(x) = 2x - x^2$

Точка касания: $M(x_0, y_0) = (\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$

Найти:

Площадь $S$ фигуры, ограниченной данными линиями.

Решение:

1. Найдём уравнение касательной к параболе $f(x) = 2x - x^2$ в точке с абсциссой $x_0 = \frac{1}{2}$.

Производная функции: $f'(x) = (2x - x^2)' = 2 - 2x$.

Значение производной в точке касания: $f'(\frac{1}{2}) = 2 - 2(\frac{1}{2}) = 2 - 1 = 1$.

Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

$y = \frac{3}{4} + 1(x - \frac{1}{2}) = x - \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = x + \frac{1}{4}$

Уравнение касательной: $y_t = x + \frac{1}{4}$.

2. Определим границы искомой фигуры. Фигура ограничена снизу прямой $y=0$ (осью Ox). Сверху она ограничена касательной $y_t = x + \frac{1}{4}$ и параболой $y_p = 2x - x^2$.

Найдём точки пересечения этих линий с осью Ox:

Парабола: $2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2-x)=0 \Rightarrow x=0, x=2$.

Касательная: $x + \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}$.

Точка касания параболы и касательной имеет абсциссу $x=\frac{1}{2}$.

Таким образом, искомая фигура состоит из двух частей:

• $S_1$: фигура под касательной $y = x + \frac{1}{4}$ на интервале от $x = -\frac{1}{4}$ до $x = \frac{1}{2}$.
• $S_2$: фигура под параболой $y = 2x - x^2$ на интервале от $x = \frac{1}{2}$ до $x = 2$.

3. Вычислим площади $S_1$ и $S_2$.

$S_1 = \int_{-1/4}^{1/2} (x + \frac{1}{4}) dx = [\frac{x^2}{2} + \frac{x}{4}]_{-1/4}^{1/2}$

$S_1 = (\frac{(1/2)^2}{2} + \frac{1/2}{4}) - (\frac{(-1/4)^2}{2} + \frac{-1/4}{4}) = (\frac{1/8}{ } + \frac{1}{8}) - (\frac{1/16}{2} - \frac{1}{16}) = \frac{1}{4} - (\frac{1}{32} - \frac{2}{32}) = \frac{1}{4} - (-\frac{1}{32}) = \frac{8}{32} + \frac{1}{32} = \frac{9}{32}$

$S_2 = \int_{1/2}^{2} (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{1/2}^{2}$

$S_2 = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - ((\frac{1}{2})^2 - \frac{(1/2)^3}{3}) = (4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{24}) = \frac{4}{3} - (\frac{6}{24} - \frac{1}{24}) = \frac{4}{3} - \frac{5}{24} = \frac{32}{24} - \frac{5}{24} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$

Общая площадь $S = S_1 + S_2$:

$S = \frac{9}{32} + \frac{9}{8} = \frac{9}{32} + \frac{36}{32} = \frac{45}{32}$

Ответ: $\frac{45}{32}$.

69. 1. Найдите объем тела, полученного при вращении параболы $y = 0.5x^2$ от точки $x = -1$ до точки $x = 1$ вокруг оси ординат.

2. Найдите объем тела, полученного при вращении параболы $y = 2x^2$ от точки $x = -2$ до точки $x = 2$ вокруг оси ординат.

1. Дано:
Парабола: $y = 0.5x^2$
Пределы по x: от $x = -1$ до $x = 1$
Ось вращения: ось ординат (ось Oy)

Найти:
Объем тела вращения $V$.

Решение:
Тело вращения образовано вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной параболой $y = 0.5x^2$ и прямой, проходящей через конечные точки дуги параболы.

Найдем пределы интегрирования по оси Oy. Нижний предел соответствует вершине параболы, где $x=0$, следовательно, $y_{min} = 0.5 \cdot 0^2 = 0$. Верхний предел соответствует точкам $x = -1$ и $x = 1$. В обеих точках $y_{max} = 0.5 \cdot (\pm 1)^2 = 0.5$. Таким образом, интегрирование будет производиться от $c=0$ до $d=0.5$.

Объем тела вращения вокруг оси ординат вычисляется по формуле метода дисков: $V = \pi \int_{c}^{d} x^2 dy$

Для использования этой формулы необходимо выразить $x^2$ через $y$ из уравнения параболы: $y = 0.5x^2 \implies x^2 = \frac{y}{0.5} \implies x^2 = 2y$

Подставим выражение для $x^2$ и пределы интегрирования в формулу объема: $V = \pi \int_{0}^{0.5} 2y \, dy$

Вычислим интеграл: $V = 2\pi \int_{0}^{0.5} y \, dy = 2\pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{0.5} = \pi [y^2]_{0}^{0.5}$ $V = \pi (0.5^2 - 0^2) = \pi \cdot 0.25 = \frac{\pi}{4}$

Таким образом, объем полученного тела вращения (параболоида) равен $\frac{\pi}{4}$ кубических единиц. Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

2. Дано:
Парабола: $y = 2x^2$
Пределы по x: от $x = -2$ до $x = 2$
Ось вращения: ось ординат (ось Oy)

Найти:
Объем тела вращения $V$.

Решение:
Аналогично предыдущей задаче, объем тела находится вращением дуги параболы вокруг оси Oy.

Определим пределы интегрирования по оси y. Нижняя граница при $x=0$ дает $y_{min} = 2 \cdot 0^2 = 0$. Верхняя граница при $x = \pm 2$ дает $y_{max} = 2 \cdot (\pm 2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$. Интегрирование проводится в пределах от $c=0$ до $d=8$.

Формула для объема тела вращения вокруг оси Oy: $V = \pi \int_{c}^{d} x^2 dy$

Выразим $x^2$ через $y$ из уравнения параболы: $y = 2x^2 \implies x^2 = \frac{y}{2}$

Подставим полученное выражение и пределы в интеграл для объема: $V = \pi \int_{0}^{8} \frac{y}{2} dy$

Теперь вычислим интеграл: $V = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{8} y \, dy = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{8} = \frac{\pi}{4} [y^2]_{0}^{8}$ $V = \frac{\pi}{4} (8^2 - 0^2) = \frac{\pi}{4} \cdot 64 = 16\pi$

Следовательно, объем тела вращения равен $16\pi$ кубических единиц. Ответ: $16\pi$.

Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями (70–71):

70.1) $y = x^2 + 1$, $y = x + 3;$

2) $y = x^2 + 2x + 4$, $y = x + 6;$

3) $y = -x^2 + 3$, $y = 2x - 6;$

4) $y = 4 - x^2$, $y = 1 - 2x.$

1)

Дано:

Функции, ограничивающие фигуру: $y = x^2 + 1$ и $y = x + 3$.

Найти:

Площадь $S$ фигуры, ограниченной данными линиями.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = f_1(x)$ и $y = f_2(x)$, находится по формуле $S = \int_{a}^{b} (f_{upper}(x) - f_{lower}(x)) dx$, где $a$ и $b$ — абсциссы точек пересечения кривых, а $f_{upper}(x) \ge f_{lower}(x)$ на отрезке $[a, b]$.

1. Найдем пределы интегрирования, решив уравнение $f_1(x) = f_2(x)$:

$x^2 + 1 = x + 3$

$x^2 - x - 2 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$. Таким образом, пределы интегрирования $a = -1$ и $b = 2$.

2. Определим, какая из функций является верхней на интервале $(-1, 2)$. Возьмем пробную точку $x = 0$ из этого интервала:

Для $y = x^2 + 1$: $y(0) = 0^2 + 1 = 1$.

Для $y = x + 3$: $y(0) = 0 + 3 = 3$.

Поскольку $3 > 1$, на интервале $(-1, 2)$ функция $y = x + 3$ является верхней, а $y = x^2 + 1$ — нижней.

3. Вычислим площадь как определенный интеграл:

$S = \int_{-1}^{2} ((x + 3) - (x^2 + 1)) dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$

Найдем первообразную:

$F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = F(2) - F(-1) = (-\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2) - (-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1))$

$S = (-\frac{8}{3} + 2 + 4) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2) = (-\frac{8}{3} + 6) - (\frac{2+3-12}{6})$

$S = \frac{10}{3} - (-\frac{7}{6}) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $S = 4.5$

2)

Дано:

Функции, ограничивающие фигуру: $y = x^2 + 2x + 4$ и $y = x + 6$.

Найти:

Площадь $S$ фигуры, ограниченной данными линиями.

Решение:

1. Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций:

$x^2 + 2x + 4 = x + 6$

$x^2 + x - 2 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$. Пределы интегрирования: $a = -2$ и $b = 1$.

2. Определим верхнюю функцию на интервале $(-2, 1)$. Возьмем пробную точку $x = 0$:

Для $y = x^2 + 2x + 4$: $y(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 + 4 = 4$.

Для $y = x + 6$: $y(0) = 0 + 6 = 6$.

Так как $6 > 4$, функция $y = x + 6$ является верхней.

3. Вычислим площадь:

$S = \int_{-2}^{1} ((x + 6) - (x^2 + 2x + 4)) dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx$

Первообразная: $F(x) = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x$.

$S = F(1) - F(-2) = (-\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1) - (-\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2))$

$S = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (\frac{8}{3} - 2 - 4) = (\frac{-2-3+12}{6}) - (\frac{8}{3} - 6)$

$S = \frac{7}{6} - (\frac{8-18}{3}) = \frac{7}{6} - (-\frac{10}{3}) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{7+20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $S = 4.5$

3)

Дано:

Функции, ограничивающие фигуру: $y = -x^2 + 3$ и $y = 2x - 6$.

Найти:

Площадь $S$ фигуры, ограниченной данными линиями.

Решение:

1. Найдем абсциссы точек пересечения:

$-x^2 + 3 = 2x - 6$

$x^2 + 2x - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -1 \pm \sqrt{10}$.

Пределы интегрирования: $a = -1 - \sqrt{10}$ и $b = -1 + \sqrt{10}$.

2. Определим верхнюю функцию на интервале $(-1 - \sqrt{10}, -1 + \sqrt{10})$. Парабола $y = -x^2 + 3$ ветвями вниз, поэтому она будет являться верхней функцией между точками пересечения. Проверим точкой $x = 0$:

Для $y = -x^2 + 3$: $y(0) = -0^2 + 3 = 3$.

Для $y = 2x - 6$: $y(0) = 2 \cdot 0 - 6 = -6$.

Так как $3 > -6$, функция $y = -x^2 + 3$ является верхней.

3. Вычислим площадь:

$S = \int_{-1-\sqrt{10}}^{-1+\sqrt{10}} ((-x^2 + 3) - (2x - 6)) dx = \int_{-1-\sqrt{10}}^{-1+\sqrt{10}} (-x^2 - 2x + 9) dx$

Первообразная: $F(x) = -\frac{x^3}{3} - x^2 + 9x$.

$S = [-\frac{x^3}{3} - x^2 + 9x]_{-1-\sqrt{10}}^{-1+\sqrt{10}}$

Пусть $b = -1+\sqrt{10}$ и $a = -1-\sqrt{10}$.

$S = (-\frac{b^3}{3} - b^2 + 9b) - (-\frac{a^3}{3} - a^2 + 9a) = -\frac{1}{3}(b^3-a^3) - (b^2-a^2) + 9(b-a)$

Найдем $b-a$, $b^2-a^2$ и $b^3-a^3$:

$b-a = (-1+\sqrt{10}) - (-1-\sqrt{10}) = 2\sqrt{10}$

$b+a = (-1+\sqrt{10}) + (-1-\sqrt{10}) = -2$

$ab = (-1)^2 - (\sqrt{10})^2 = 1 - 10 = -9$

$b^2-a^2 = (b-a)(b+a) = 2\sqrt{10} \cdot (-2) = -4\sqrt{10}$

$b^3-a^3 = (b-a)(a^2+ab+b^2) = (b-a)((a+b)^2-ab) = 2\sqrt{10}((-2)^2 - (-9)) = 2\sqrt{10}(4+9) = 26\sqrt{10}$

Подставим значения в формулу для площади:

$S = -\frac{1}{3}(26\sqrt{10}) - (-4\sqrt{10}) + 9(2\sqrt{10}) = -\frac{26\sqrt{10}}{3} + 4\sqrt{10} + 18\sqrt{10}$

$S = -\frac{26\sqrt{10}}{3} + 22\sqrt{10} = (\frac{66-26}{3})\sqrt{10} = \frac{40\sqrt{10}}{3}$

Ответ: $S = \frac{40\sqrt{10}}{3}$

4)

Дано:

Функции, ограничивающие фигуру: $y = 4 - x^2$ и $y = 1 - 2x$.

Найти:

Площадь $S$ фигуры, ограниченной данными линиями.

Решение:

1. Найдем абсциссы точек пересечения:

$4 - x^2 = 1 - 2x$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$. Пределы интегрирования: $a = -1$ и $b = 3$.

2. Определим верхнюю функцию на интервале $(-1, 3)$. Парабола $y = 4 - x^2$ ветвями вниз, значит она является верхней функцией. Проверим в точке $x = 0$:

Для $y = 4 - x^2$: $y(0) = 4 - 0^2 = 4$.

Для $y = 1 - 2x$: $y(0) = 1 - 2 \cdot 0 = 1$.

Так как $4 > 1$, функция $y = 4 - x^2$ — верхняя.

3. Вычислим площадь:

$S = \int_{-1}^{3} ((4 - x^2) - (1 - 2x)) dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx$

Первообразная: $F(x) = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x$.

$S = F(3) - F(-1) = (-\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3) - (-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3 \cdot (-1))$

$S = (-9 + 9 + 9) - (\frac{1}{3} + 1 - 3) = 9 - (\frac{1}{3} - 2)$

$S = 9 - (\frac{1-6}{3}) = 9 - (-\frac{5}{3}) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27+5}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $S = \frac{32}{3}$

71.1) $y = x^2 - 8x + 12$, $y = -x^2 + 8x - 18;$

2) $y = x^2 + 6x + 5$, $y = -x^2 - 6x - 11;$

3) $y = x^2 - 4x - 1$, $y = -x^2 - 4x + 7;$

4) $y = x^2 + 3x - 5$, $y = -x^2 + 3x - 3.$

Дано:

Четыре пары уравнений квадратичных функций:

1) $y = x^2 - 8x + 12$ и $y = -x^2 + 8x - 18$

2) $y = x^2 + 6x + 5$ и $y = -x^2 - 6x - 11$

3) $y = x^2 - 4x - 1$ и $y = -x^2 - 4x + 7$

4) $y = x^2 + 3x - 5$ и $y = -x^2 + 3x - 3$

Найти:

Координаты точек пересечения графиков для каждой пары функций.

Решение:

Для нахождения точек пересечения графиков двух функций необходимо решить систему, состоящую из уравнений этих функций. Поскольку в каждой паре левые части уравнений равны ($y$), мы можем приравнять их правые части и найти абсциссы ($x$) точек пересечения. Затем, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений, мы найдем соответствующие ординаты ($y$).

1) $y = x^2 - 8x + 12$ и $y = -x^2 + 8x - 18$

Приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 8x + 12 = -x^2 + 8x - 18$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$x^2 - 8x + 12 + x^2 - 8x + 18 = 0$

$2x^2 - 16x + 30 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Легко подобрать корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x_1$ и $x_2$ в уравнение $y = x^2 - 8x + 12$:

При $x_1 = 3$: $y_1 = 3^2 - 8(3) + 12 = 9 - 24 + 12 = -3$.

При $x_2 = 5$: $y_2 = 5^2 - 8(5) + 12 = 25 - 40 + 12 = -3$.

Точки пересечения: $(3, -3)$ и $(5, -3)$.

Ответ: $(3, -3), (5, -3)$.

2) $y = x^2 + 6x + 5$ и $y = -x^2 - 6x - 11$

Приравняем правые части:

$x^2 + 6x + 5 = -x^2 - 6x - 11$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 + 6x + 5 + x^2 + 6x + 11 = 0$

$2x^2 + 12x + 16 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 + 6x + 8 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -6, а произведение равно 8. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $y$ для $y = x^2 + 6x + 5$:

При $x_1 = -2$: $y_1 = (-2)^2 + 6(-2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3$.

При $x_2 = -4$: $y_2 = (-4)^2 + 6(-4) + 5 = 16 - 24 + 5 = -3$.

Точки пересечения: $(-2, -3)$ и $(-4, -3)$.

Ответ: $(-2, -3), (-4, -3)$.

3) $y = x^2 - 4x - 1$ и $y = -x^2 - 4x + 7$

Приравняем правые части:

$x^2 - 4x - 1 = -x^2 - 4x + 7$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 - 4x - 1 + x^2 + 4x - 7 = 0$

$2x^2 - 8 = 0$

Решим неполное квадратное уравнение:

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$ для $y = x^2 - 4x - 1$:

При $x_1 = 2$: $y_1 = 2^2 - 4(2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$.

При $x_2 = -2$: $y_2 = (-2)^2 - 4(-2) - 1 = 4 + 8 - 1 = 11$.

Точки пересечения: $(2, -5)$ и $(-2, 11)$.

Ответ: $(2, -5), (-2, 11)$.

4) $y = x^2 + 3x - 5$ и $y = -x^2 + 3x - 3$

Приравняем правые части:

$x^2 + 3x - 5 = -x^2 + 3x - 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 + 3x - 5 + x^2 - 3x + 3 = 0$

$2x^2 - 2 = 0$

Решим неполное квадратное уравнение:

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1$

$x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$ для $y = x^2 + 3x - 5$:

При $x_1 = 1$: $y_1 = 1^2 + 3(1) - 5 = 1 + 3 - 5 = -1$.

При $x_2 = -1$: $y_2 = (-1)^2 + 3(-1) - 5 = 1 - 3 - 5 = -7$.

Точки пересечения: $(1, -1)$ и $(-1, -7)$.

Ответ: $(1, -1), (-1, -7)$.