Номер 70, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями (70–71):

70.1) $y = x^2 + 1$, $y = x + 3;$

2) $y = x^2 + 2x + 4$, $y = x + 6;$

3) $y = -x^2 + 3$, $y = 2x - 6;$

4) $y = 4 - x^2$, $y = 1 - 2x.$

1)

Дано:

Функции, ограничивающие фигуру: $y = x^2 + 1$ и $y = x + 3$.

Найти:

Площадь $S$ фигуры, ограниченной данными линиями.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = f_1(x)$ и $y = f_2(x)$, находится по формуле $S = \int_{a}^{b} (f_{upper}(x) - f_{lower}(x)) dx$, где $a$ и $b$ — абсциссы точек пересечения кривых, а $f_{upper}(x) \ge f_{lower}(x)$ на отрезке $[a, b]$.

1. Найдем пределы интегрирования, решив уравнение $f_1(x) = f_2(x)$:

$x^2 + 1 = x + 3$

$x^2 - x - 2 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$. Таким образом, пределы интегрирования $a = -1$ и $b = 2$.

2. Определим, какая из функций является верхней на интервале $(-1, 2)$. Возьмем пробную точку $x = 0$ из этого интервала:

Для $y = x^2 + 1$: $y(0) = 0^2 + 1 = 1$.

Для $y = x + 3$: $y(0) = 0 + 3 = 3$.

Поскольку $3 > 1$, на интервале $(-1, 2)$ функция $y = x + 3$ является верхней, а $y = x^2 + 1$ — нижней.

3. Вычислим площадь как определенный интеграл:

$S = \int_{-1}^{2} ((x + 3) - (x^2 + 1)) dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$

Найдем первообразную:

$F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = F(2) - F(-1) = (-\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2) - (-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1))$

$S = (-\frac{8}{3} + 2 + 4) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2) = (-\frac{8}{3} + 6) - (\frac{2+3-12}{6})$

$S = \frac{10}{3} - (-\frac{7}{6}) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $S = 4.5$

2)

Дано:

Функции, ограничивающие фигуру: $y = x^2 + 2x + 4$ и $y = x + 6$.

Найти:

Площадь $S$ фигуры, ограниченной данными линиями.

Решение:

1. Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций:

$x^2 + 2x + 4 = x + 6$

$x^2 + x - 2 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$. Пределы интегрирования: $a = -2$ и $b = 1$.

2. Определим верхнюю функцию на интервале $(-2, 1)$. Возьмем пробную точку $x = 0$:

Для $y = x^2 + 2x + 4$: $y(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 + 4 = 4$.

Для $y = x + 6$: $y(0) = 0 + 6 = 6$.

Так как $6 > 4$, функция $y = x + 6$ является верхней.

3. Вычислим площадь:

$S = \int_{-2}^{1} ((x + 6) - (x^2 + 2x + 4)) dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx$

Первообразная: $F(x) = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x$.

$S = F(1) - F(-2) = (-\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1) - (-\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2))$

$S = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (\frac{8}{3} - 2 - 4) = (\frac{-2-3+12}{6}) - (\frac{8}{3} - 6)$

$S = \frac{7}{6} - (\frac{8-18}{3}) = \frac{7}{6} - (-\frac{10}{3}) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{7+20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $S = 4.5$

3)

Дано:

Функции, ограничивающие фигуру: $y = -x^2 + 3$ и $y = 2x - 6$.

Найти:

Площадь $S$ фигуры, ограниченной данными линиями.

Решение:

1. Найдем абсциссы точек пересечения:

$-x^2 + 3 = 2x - 6$

$x^2 + 2x - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -1 \pm \sqrt{10}$.

Пределы интегрирования: $a = -1 - \sqrt{10}$ и $b = -1 + \sqrt{10}$.

2. Определим верхнюю функцию на интервале $(-1 - \sqrt{10}, -1 + \sqrt{10})$. Парабола $y = -x^2 + 3$ ветвями вниз, поэтому она будет являться верхней функцией между точками пересечения. Проверим точкой $x = 0$:

Для $y = -x^2 + 3$: $y(0) = -0^2 + 3 = 3$.

Для $y = 2x - 6$: $y(0) = 2 \cdot 0 - 6 = -6$.

Так как $3 > -6$, функция $y = -x^2 + 3$ является верхней.

3. Вычислим площадь:

$S = \int_{-1-\sqrt{10}}^{-1+\sqrt{10}} ((-x^2 + 3) - (2x - 6)) dx = \int_{-1-\sqrt{10}}^{-1+\sqrt{10}} (-x^2 - 2x + 9) dx$

Первообразная: $F(x) = -\frac{x^3}{3} - x^2 + 9x$.

$S = [-\frac{x^3}{3} - x^2 + 9x]_{-1-\sqrt{10}}^{-1+\sqrt{10}}$

Пусть $b = -1+\sqrt{10}$ и $a = -1-\sqrt{10}$.

$S = (-\frac{b^3}{3} - b^2 + 9b) - (-\frac{a^3}{3} - a^2 + 9a) = -\frac{1}{3}(b^3-a^3) - (b^2-a^2) + 9(b-a)$

Найдем $b-a$, $b^2-a^2$ и $b^3-a^3$:

$b-a = (-1+\sqrt{10}) - (-1-\sqrt{10}) = 2\sqrt{10}$

$b+a = (-1+\sqrt{10}) + (-1-\sqrt{10}) = -2$

$ab = (-1)^2 - (\sqrt{10})^2 = 1 - 10 = -9$

$b^2-a^2 = (b-a)(b+a) = 2\sqrt{10} \cdot (-2) = -4\sqrt{10}$

$b^3-a^3 = (b-a)(a^2+ab+b^2) = (b-a)((a+b)^2-ab) = 2\sqrt{10}((-2)^2 - (-9)) = 2\sqrt{10}(4+9) = 26\sqrt{10}$

Подставим значения в формулу для площади:

$S = -\frac{1}{3}(26\sqrt{10}) - (-4\sqrt{10}) + 9(2\sqrt{10}) = -\frac{26\sqrt{10}}{3} + 4\sqrt{10} + 18\sqrt{10}$

$S = -\frac{26\sqrt{10}}{3} + 22\sqrt{10} = (\frac{66-26}{3})\sqrt{10} = \frac{40\sqrt{10}}{3}$

Ответ: $S = \frac{40\sqrt{10}}{3}$

4)

Дано:

Функции, ограничивающие фигуру: $y = 4 - x^2$ и $y = 1 - 2x$.

Найти:

Площадь $S$ фигуры, ограниченной данными линиями.

Решение:

1. Найдем абсциссы точек пересечения:

$4 - x^2 = 1 - 2x$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$. Пределы интегрирования: $a = -1$ и $b = 3$.

2. Определим верхнюю функцию на интервале $(-1, 3)$. Парабола $y = 4 - x^2$ ветвями вниз, значит она является верхней функцией. Проверим в точке $x = 0$:

Для $y = 4 - x^2$: $y(0) = 4 - 0^2 = 4$.

Для $y = 1 - 2x$: $y(0) = 1 - 2 \cdot 0 = 1$.

Так как $4 > 1$, функция $y = 4 - x^2$ — верхняя.

3. Вычислим площадь:

$S = \int_{-1}^{3} ((4 - x^2) - (1 - 2x)) dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx$

Первообразная: $F(x) = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x$.

$S = F(3) - F(-1) = (-\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3) - (-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3 \cdot (-1))$

$S = (-9 + 9 + 9) - (\frac{1}{3} + 1 - 3) = 9 - (\frac{1}{3} - 2)$

$S = 9 - (\frac{1-6}{3}) = 9 - (-\frac{5}{3}) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27+5}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $S = \frac{32}{3}$