Страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

44.1) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin x - 3\cos x) dx;$

2) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (2\cos x - 5\sin x) dx;$

3) $\int_{0}^{\pi} \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{4}\right) dx;$

4) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \left(\sin \frac{x}{3} - \cos \frac{x}{2}\right) dx.$

44.1) 1)

Дано:

Определенный интеграл $ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin x - 3\cos x) dx $.

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $F(x)$ - первообразная для функции $f(x)$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2\sin x - 3\cos x$.

$ F(x) = \int (2\sin x - 3\cos x) dx = 2 \int \sin x dx - 3 \int \cos x dx = 2(-\cos x) - 3(\sin x) = -2\cos x - 3\sin x$.

Теперь вычислим значения первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

$ F(\frac{\pi}{2}) = -2\cos(\frac{\pi}{2}) - 3\sin(\frac{\pi}{2}) = -2 \cdot 0 - 3 \cdot 1 = -3$.

$ F(\frac{\pi}{4}) = -2\cos(\frac{\pi}{4}) - 3\sin(\frac{\pi}{4}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Вычисляем значение интеграла:

$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin x - 3\cos x) dx = F(\frac{\pi}{2}) - F(\frac{\pi}{4}) = -3 - (-\frac{5\sqrt{2}}{2}) = -3 + \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2} - 6}{2}$.

Ответ: $ \frac{5\sqrt{2} - 6}{2} $.

2)

Дано:

Определенный интеграл $ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (2\cos x - 5\sin x) dx $.

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $.

Первообразная для $ f(x) = 2\cos x - 5\sin x $ равна:

$ F(x) = \int (2\cos x - 5\sin x) dx = 2\sin x - 5(-\cos x) = 2\sin x + 5\cos x$.

Вычисляем значения первообразной в пределах интегрирования:

$ F(\frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3}) + 5\cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 5 \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} + \frac{5}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 5}{2}$.

$ F(\frac{\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{6}) + 5\cos(\frac{\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + 5\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем в формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (2\cos x - 5\sin x) dx = F(\frac{\pi}{3}) - F(\frac{\pi}{6}) = \frac{2\sqrt{3} + 5}{2} - \frac{2 + 5\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 5 - 2 - 5\sqrt{3}}{2} = \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $ \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2} $.

3)

Дано:

Определенный интеграл $ \int_{0}^{\pi} (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{4}) dx $.

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Для вычисления интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница.

Находим первообразную для $ f(x) = \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{4} $:

$ F(x) = \int (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{4}) dx = \frac{-\cos(x/2)}{1/2} + \frac{\sin(x/4)}{1/4} = -2\cos \frac{x}{2} + 4\sin \frac{x}{4}$.

Вычисляем значения первообразной в пределах интегрирования:

$ F(\pi) = -2\cos(\frac{\pi}{2}) + 4\sin(\frac{\pi}{4}) = -2 \cdot 0 + 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

$ F(0) = -2\cos(\frac{0}{2}) + 4\sin(\frac{0}{4}) = -2\cos(0) + 4\sin(0) = -2 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = -2$.

Вычисляем интеграл:

$ \int_{0}^{\pi} (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{4}) dx = F(\pi) - F(0) = 2\sqrt{2} - (-2) = 2\sqrt{2} + 2 = 2(1 + \sqrt{2})$.

Ответ: $ 2(1 + \sqrt{2}) $.

4)

Дано:

Определенный интеграл $ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (\sin \frac{x}{3} - \cos \frac{x}{2}) dx $.

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Применяем формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.

Находим первообразную для $ f(x) = \sin \frac{x}{3} - \cos \frac{x}{2} $:

$ F(x) = \int (\sin \frac{x}{3} - \cos \frac{x}{2}) dx = \frac{-\cos(x/3)}{1/3} - \frac{\sin(x/2)}{1/2} = -3\cos \frac{x}{3} - 2\sin \frac{x}{2}$.

Вычисляем значения первообразной на границах интегрирования:

$ F(0) = -3\cos(\frac{0}{3}) - 2\sin(\frac{0}{2}) = -3\cos(0) - 2\sin(0) = -3 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = -3$.

$ F(-\frac{\pi}{2}) = -3\cos(\frac{-\pi/2}{3}) - 2\sin(\frac{-\pi/2}{2}) = -3\cos(-\frac{\pi}{6}) - 2\sin(-\frac{\pi}{4})$.

Используя свойства четности косинуса ($\cos(-a) = \cos(a)$) и нечетности синуса ($\sin(-a) = -\sin(a)$), получаем:

$ F(-\frac{\pi}{2}) = -3\cos(\frac{\pi}{6}) + 2\sin(\frac{\pi}{4}) = -3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}}{2}$.

Вычисляем интеграл:

$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (\sin \frac{x}{3} - \cos \frac{x}{2}) dx = F(0) - F(-\frac{\pi}{2}) = -3 - (\frac{2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}}{2}) = \frac{-6 - (2\sqrt{2} - 3\sqrt{3})}{2} = \frac{-6 - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 6}{2}$.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 6}{2} $.

45. 1) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right) d x$;

2) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right) d x$;

3) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{2}{\cos ^{2}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)} d x$;

4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{3}{\sin ^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)} d x$.

45. 1)

Решение

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = \sin(x - \frac{\pi}{3})$. Первообразной для $\sin(u)$ является $-\cos(u)$. В нашем случае $u = x - \frac{\pi}{3}$, поэтому первообразная $F(x) = -\cos(x - \frac{\pi}{3})$.

Теперь вычислим интеграл:

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin(x-\frac{\pi}{3})dx = \left[-\cos(x-\frac{\pi}{3})\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = -\cos(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}) - (-\cos(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3})) = -\cos(0) + \cos(-\frac{\pi}{6}) = -1 + \cos(\frac{\pi}{6}) = -1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}-2}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}-2}{2}$.

2)

Решение

Найдем первообразную для функции $f(x) = \cos(x + \frac{\pi}{6})$. Первообразной для $\cos(u)$ является $\sin(u)$. В нашем случае $u = x + \frac{\pi}{6}$, поэтому первообразная $F(x) = \sin(x + \frac{\pi}{6})$.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x+\frac{\pi}{6})dx = \left[\sin(x+\frac{\pi}{6})\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}) - \sin(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{3\pi+\pi}{6}) - \sin(\frac{2\pi+\pi}{6}) = \sin(\frac{4\pi}{6}) - \sin(\frac{3\pi}{6}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{3}-2}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}-2}{2}$.

3)

Решение

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{2}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})}$. Первообразной для $\frac{1}{\cos^2(u)}$ является $\tan(u)$. В нашем случае $u = x - \frac{\pi}{4}$, поэтому первообразная $F(x) = 2\tan(x - \frac{\pi}{4})$.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{2}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})}dx = \left[2\tan(x - \frac{\pi}{4})\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = 2\tan(0 - \frac{\pi}{4}) - 2\tan(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = 2\tan(-\frac{\pi}{4}) - 2\tan(-\frac{3\pi}{4})$.

Так как $\tan(-\alpha) = -\tan(\alpha)$, то $\tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.

Также $\tan(-\frac{3\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Следовательно, $2(-1) - 2(1) = -2 - 2 = -4$.

Ответ: -4.

4)

Решение

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{3}{\sin^2(x + \frac{\pi}{4})}$. Первообразной для $\frac{1}{\sin^2(u)}$ является $-\cot(u)$. В нашем случае $u = x + \frac{\pi}{4}$, поэтому первообразная $F(x) = -3\cot(x + \frac{\pi}{4})$.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{3}{\sin^2(x + \frac{\pi}{4})}dx = \left[-3\cot(x + \frac{\pi}{4})\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -3\cot(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) - (-3\cot(0 + \frac{\pi}{4})) = -3\cot(\frac{3\pi}{4}) + 3\cot(\frac{\pi}{4})$.

Так как $\cot(\frac{3\pi}{4}) = -1$ и $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, то:

$-3(-1) + 3(1) = 3 + 3 = 6$.

Ответ: 6.

46. 1) $\int_{1}^{4} \left( 2x + \frac{3}{\sqrt{x}} \right) dx;$

2) $\int_{4}^{9} \left( 6 - \frac{5}{\sqrt{x}} \right) dx;$

3) $\int_{-5}^{0} \left( \frac{4}{\sqrt{x+9}} + 5 \right) dx;$

4) $\int_{0}^{8} \left( 7 - \frac{5}{\sqrt{1+x}} \right) dx.$

1) Решение:
Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{4} (2x + \frac{3}{\sqrt{x}}) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2x + \frac{3}{\sqrt{x}}$. Представим функцию в виде, удобном для интегрирования: $f(x) = 2x + 3x^{-1/2}$.
Первообразная находится как сумма первообразных для каждого слагаемого, используя табличные интегралы $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:
$F(x) = \int (2x + 3x^{-1/2}) dx = \int 2x dx + \int 3x^{-1/2} dx = 2\frac{x^{1+1}}{1+1} + 3\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 2\frac{x^2}{2} + 3\frac{x^{1/2}}{1/2} + C = x^2 + 6x^{1/2} + C = x^2 + 6\sqrt{x} + C$.
Теперь вычислим значение определенного интеграла, подставив пределы интегрирования:
$\int_{1}^{4} (2x + \frac{3}{\sqrt{x}}) dx = (x^2 + 6\sqrt{x}) \Big|_{1}^{4} = (4^2 + 6\sqrt{4}) - (1^2 + 6\sqrt{1}) = (16 + 6 \cdot 2) - (1 + 6 \cdot 1) = (16+12) - 7 = 28 - 7 = 21$.
Ответ: 21.

2) Решение:
Вычислим интеграл $\int_{4}^{9} (6 - \frac{5}{\sqrt{x}}) dx$. Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = 6 - \frac{5}{\sqrt{x}}$.
Перепишем функцию: $f(x) = 6 - 5x^{-1/2}$.
Интегрируем, используя табличные интегралы:
$F(x) = \int (6 - 5x^{-1/2}) dx = \int 6 dx - \int 5x^{-1/2} dx = 6x - 5\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 6x - 5\frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 6x - 10x^{1/2} + C = 6x - 10\sqrt{x} + C$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{4}^{9} (6 - \frac{5}{\sqrt{x}}) dx = (6x - 10\sqrt{x}) \Big|_{4}^{9} = (6 \cdot 9 - 10\sqrt{9}) - (6 \cdot 4 - 10\sqrt{4}) = (54 - 10 \cdot 3) - (24 - 10 \cdot 2) = (54 - 30) - (24 - 20) = 24 - 4 = 20$.
Ответ: 20.

3) Решение:
Вычислим интеграл $\int_{-5}^{0} (\frac{4}{\sqrt{x+9}} + 5) dx$. Найдем первообразную для $f(x) = \frac{4}{\sqrt{x+9}} + 5$.
Перепишем функцию: $f(x) = 4(x+9)^{-1/2} + 5$.
Для первого слагаемого используем правило интегрирования сложной функции $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае $k=1$.
$F(x) = \int (4(x+9)^{-1/2} + 5) dx = 4 \int (x+9)^{-1/2} dx + \int 5 dx = 4\frac{(x+9)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + 5x + C = 4\frac{(x+9)^{1/2}}{1/2} + 5x + C = 8\sqrt{x+9} + 5x + C$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-5}^{0} (\frac{4}{\sqrt{x+9}} + 5) dx = (8\sqrt{x+9} + 5x) \Big|_{-5}^{0} = (8\sqrt{0+9} + 5 \cdot 0) - (8\sqrt{-5+9} + 5(-5)) = (8\sqrt{9}) - (8\sqrt{4} - 25) = (8 \cdot 3) - (8 \cdot 2 - 25) = 24 - (16 - 25) = 24 - (-9) = 24 + 9 = 33$.
Ответ: 33.

4) Решение:
Вычислим интеграл $\int_{0}^{8} (7 - \frac{5}{\sqrt{1+x}}) dx$. Найдем первообразную для $f(x) = 7 - \frac{5}{\sqrt{1+x}}$.
Перепишем функцию: $f(x) = 7 - 5(1+x)^{-1/2}$.
Интегрируем, используя правило для сложной функции для второго слагаемого:
$F(x) = \int (7 - 5(1+x)^{-1/2}) dx = \int 7 dx - 5 \int (1+x)^{-1/2} dx = 7x - 5\frac{(1+x)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 7x - 5\frac{(1+x)^{1/2}}{1/2} + C = 7x - 10\sqrt{1+x} + C$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{8} (7 - \frac{5}{\sqrt{1+x}}) dx = (7x - 10\sqrt{1+x}) \Big|_{0}^{8} = (7 \cdot 8 - 10\sqrt{1+8}) - (7 \cdot 0 - 10\sqrt{1+0}) = (56 - 10\sqrt{9}) - (0 - 10\sqrt{1}) = (56 - 10 \cdot 3) - (-10) = (56 - 30) + 10 = 26 + 10 = 36$.
Ответ: 36.

Докажите справедливость равенства (47–48):

47.1) $\int_1^2 3x^2 dx = \int_0^1 14xdx;$

2) $\int_4^9 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int_1^3 dx.$

47.1)

Чтобы доказать справедливость равенства $\int_{1}^{2} 3x^2 dx = \int_{0}^{1} 14x dx$, необходимо вычислить значение каждого определенного интеграла и сравнить результаты.

Решение

Сначала вычислим интеграл в левой части равенства:

$\int_{1}^{2} 3x^2 dx$

Используя свойство интеграла и формулу для интеграла степенной функции, находим первообразную:

$F_1(x) = \int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$\int_{1}^{2} 3x^2 dx = \left[ x^3 \right]_{1}^{2} = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7$.

Далее вычислим интеграл в правой части равенства:

$\int_{0}^{1} 14x dx$

Находим первообразную для подынтегральной функции:

$F_2(x) = \int 14x dx = 14 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 14 \cdot \frac{x^2}{2} = 7x^2$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{1} 14x dx = \left[ 7x^2 \right]_{0}^{1} = 7 \cdot 1^2 - 7 \cdot 0^2 = 7 - 0 = 7$.

Сравнивая результаты, получаем $7=7$.

Ответ: Равенство справедливо, так как оба интеграла равны 7.

2)

Чтобы доказать справедливость равенства $\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int_{1}^{3} dx$, вычислим значение каждого интеграла.

Решение

Вычислим левую часть равенства. Представим подынтегральную функцию в виде степени:

$\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int_{4}^{9} x^{-1/2} dx$.

Находим первообразную:

$F_1(x) = \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{4}^{9} x^{-1/2} dx = \left[ 2\sqrt{x} \right]_{4}^{9} = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{4} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2$.

Теперь вычислим правую часть равенства:

$\int_{1}^{3} dx = \int_{1}^{3} 1 \cdot dx$.

Находим первообразную:

$F_2(x) = \int 1 dx = x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{3} dx = \left[ x \right]_{1}^{3} = 3 - 1 = 2$.

Сравнивая результаты, получаем $2=2$.

Ответ: Равенство справедливо, так как оба интеграла равны 2.

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int_{0}^{1} 4x^3 dx;$

2) $\int_{0}^{1} 5x^4 dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} dx.$

1) $ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int_{0}^{1} 4x^3 dx $

Решение

Для проверки верности равенства необходимо вычислить оба определенных интеграла, используя формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ является первообразной для функции $ f(x) $.

Вычислим интеграл в левой части равенства. Первообразной для функции $ \frac{1}{\cos^2 x} $ является $ \tan x $.

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = [\tan x] \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \tan(0) = 1 - 0 = 1. $

Теперь вычислим интеграл в правой части. Первообразной для функции $ 4x^3 $ является $ x^4 $.

$ \int_{0}^{1} 4x^3 dx = [x^4] \Big|_{0}^{1} = 1^4 - 0^4 = 1 - 0 = 1. $

Поскольку левая и правая части равенства равны одному и тому же значению ($1 = 1$), исходное равенство является верным.

Ответ: Равенство верное, обе части равны 1.

2) $ \int_{0}^{1} 5x^4 dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} dx $

Решение

Проверим верность данного равенства, вычислив отдельно его левую и правую части.

Вычислим интеграл в левой части. Первообразной для функции $ 5x^4 $ является $ x^5 $.

$ \int_{0}^{1} 5x^4 dx = [x^5] \Big|_{0}^{1} = 1^5 - 0^5 = 1 - 0 = 1. $

Вычислим интеграл в правой части. Первообразной для функции $ \frac{1}{\sin^2 x} $ является $ -\cot x $.

$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} dx = [-\cot x] \Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\cot\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - \left(-\cot\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = -0 - (-1) = 1. $

Так как результаты вычислений левой и правой частей совпали ($1 = 1$), данное равенство является верным.

Ответ: Равенство верное, обе части равны 1.

49. При каких значениях x выполняется равенство:

1) $-3t^2 dt = 0;$

2) $4tdt = 2;$

3) $15t^4 dt = 96;$

4) $9t^2 dt = 3?$

1) $\int_{-1}^{x} -3t^2 dt = 0$
Решение:
Для решения этого уравнения вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(t) dt = F(b) - F(a)$, где $F(t)$ является первообразной для функции $f(t)$.
Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(t) = -3t^2$:
$F(t) = \int -3t^2 dt = -3 \cdot \frac{t^{2+1}}{2+1} = -3 \cdot \frac{t^3}{3} = -t^3$.
Теперь подставим пределы интегрирования в первообразную:
$\int_{-1}^{x} -3t^2 dt = [-t^3]_{-1}^{x} = (-x^3) - (-(-1)^3) = -x^3 - (1) = -x^3 - 1$.
Приравняем полученное выражение к нулю и решим уравнение относительно $x$:
$-x^3 - 1 = 0$
$-x^3 = 1$
$x^3 = -1$
$x = -1$.
Ответ: $x = -1$.

2) $\int_x^1 4t dt = 2$
Решение:
Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Найдем первообразную для $f(t) = 4t$:
$F(t) = \int 4t dt = 4 \cdot \frac{t^{1+1}}{1+1} = 4 \cdot \frac{t^2}{2} = 2t^2$.
Вычислим определенный интеграл:
$\int_x^1 4t dt = [2t^2]_x^1 = 2(1)^2 - 2(x)^2 = 2 - 2x^2$.
Теперь решим уравнение:
$2 - 2x^2 = 2$
$-2x^2 = 2 - 2$
$-2x^2 = 0$
$x^2 = 0$
$x = 0$.
Ответ: $x = 0$.

3) $\int_0^x 15t^4 dt = 96$
Решение:
Сначала находим первообразную для функции $f(t) = 15t^4$:
$F(t) = \int 15t^4 dt = 15 \cdot \frac{t^{4+1}}{4+1} = 15 \cdot \frac{t^5}{5} = 3t^5$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_0^x 15t^4 dt = [3t^5]_0^x = 3(x)^5 - 3(0)^5 = 3x^5$.
Составим и решим уравнение:
$3x^5 = 96$
$x^5 = \frac{96}{3}$
$x^5 = 32$
$x = \sqrt[5]{32}$
$x = 2$.
Ответ: $x = 2$.

4) $\int_x^0 9t^2 dt = 3$
Решение:
Найдем первообразную для $f(t) = 9t^2$:
$F(t) = \int 9t^2 dt = 9 \cdot \frac{t^{2+1}}{2+1} = 9 \cdot \frac{t^3}{3} = 3t^3$.
Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_x^0 9t^2 dt = [3t^3]_x^0 = 3(0)^3 - 3(x)^3 = 0 - 3x^3 = -3x^3$.
Теперь решим полученное уравнение:
$-3x^3 = 3$
$x^3 = \frac{3}{-3}$
$x^3 = -1$
$x = \sqrt[3]{-1}$
$x = -1$.
Ответ: $x = -1$.

Вычислите (50–55):

50.1) $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} (2x+1)^3 dx;$ 2) $\int_{-2}^{0} \left(3 - \frac{x}{2}\right)^2 dx;$

3) $\int_{0}^{\frac{1}{3}} (3x - 2)^3 dx;$ 4) $\int_{-4}^{0} \left(5 + \frac{x}{4}\right)^2 dx.$

50.1)

Решение:

Для вычисления определенного интеграла $ \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} (2x + 1)^3 dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для функции $ f(x) = (2x + 1)^3 $.

Это интеграл вида $ \int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C $.

В нашем случае $ a=2, b=1, n=3 $.

Первообразная $ F(x) $ равна:

$ F(x) = \int (2x + 1)^3 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^{3+1}}{3+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^4}{4} = \frac{(2x+1)^4}{8} $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $:

$ \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} (2x + 1)^3 dx = \left. \frac{(2x+1)^4}{8} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} = F(\frac{3}{2}) - F(\frac{1}{2}) $.

Вычисляем значения первообразной на концах промежутка интегрирования:

$ F(\frac{3}{2}) = \frac{(2 \cdot \frac{3}{2} + 1)^4}{8} = \frac{(3 + 1)^4}{8} = \frac{4^4}{8} = \frac{256}{8} = 32 $.

$ F(\frac{1}{2}) = \frac{(2 \cdot \frac{1}{2} + 1)^4}{8} = \frac{(1 + 1)^4}{8} = \frac{2^4}{8} = \frac{16}{8} = 2 $.

Находим разность:

$ 32 - 2 = 30 $.

Ответ: 30.

2)

Решение:

Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{0} (3 - \frac{x}{2})^2 dx $.

Сначала найдем первообразную для функции $ f(x) = (3 - \frac{x}{2})^2 $. Можно раскрыть скобки или использовать метод подстановки.

Способ 1: Раскроем скобки.

$ (3 - \frac{x}{2})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \frac{x}{2} + (\frac{x}{2})^2 = 9 - 3x + \frac{x^2}{4} $.

Теперь интегрируем полученное выражение:

$ \int (9 - 3x + \frac{x^2}{4}) dx = 9x - 3\frac{x^2}{2} + \frac{1}{4}\frac{x^3}{3} = 9x - \frac{3}{2}x^2 + \frac{x^3}{12} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-2}^{0} (3 - \frac{x}{2})^2 dx = \left. (9x - \frac{3}{2}x^2 + \frac{x^3}{12}) \right|_{-2}^{0} $.

Вычисляем значения:

При $ x=0 $: $ 9(0) - \frac{3}{2}(0)^2 + \frac{(0)^3}{12} = 0 $.

При $ x=-2 $: $ 9(-2) - \frac{3}{2}(-2)^2 + \frac{(-2)^3}{12} = -18 - \frac{3}{2}(4) + \frac{-8}{12} = -18 - 6 - \frac{2}{3} = -24 - \frac{2}{3} = -\frac{72}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{74}{3} $.

Находим разность:

$ 0 - (-\frac{74}{3}) = \frac{74}{3} $.

Ответ: $ \frac{74}{3} $.

3)

Решение:

Вычислим интеграл $ \int_{0}^{\frac{1}{3}} (3x - 2)^3 dx $.

Найдем первообразную для функции $ f(x) = (3x - 2)^3 $ по формуле $ \int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C $.

Здесь $ a=3, b=-2, n=3 $.

$ F(x) = \int (3x-2)^3 dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-2)^{3+1}}{3+1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-2)^4}{4} = \frac{(3x-2)^4}{12} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{\frac{1}{3}} (3x - 2)^3 dx = \left. \frac{(3x-2)^4}{12} \right|_{0}^{\frac{1}{3}} = F(\frac{1}{3}) - F(0) $.

Вычисляем значения:

$ F(\frac{1}{3}) = \frac{(3 \cdot \frac{1}{3} - 2)^4}{12} = \frac{(1 - 2)^4}{12} = \frac{(-1)^4}{12} = \frac{1}{12} $.

$ F(0) = \frac{(3 \cdot 0 - 2)^4}{12} = \frac{(-2)^4}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} $.

Находим разность:

$ \frac{1}{12} - \frac{16}{12} = -\frac{15}{12} = -\frac{5}{4} $.

Ответ: $ -\frac{5}{4} $.

4)

Решение:

Вычислим интеграл $ \int_{-4}^{0} (5 + \frac{x}{4})^2 dx $.

Найдем первообразную для $ f(x) = (5 + \frac{x}{4})^2 $.

Используем формулу $ \int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C $, где $ a=\frac{1}{4}, b=5, n=2 $.

$ F(x) = \int (5 + \frac{x}{4})^2 dx = \frac{1}{1/4} \cdot \frac{(5 + \frac{x}{4})^{2+1}}{2+1} = 4 \cdot \frac{(5 + \frac{x}{4})^3}{3} = \frac{4}{3}(5 + \frac{x}{4})^3 $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-4}^{0} (5 + \frac{x}{4})^2 dx = \left. \frac{4}{3}(5 + \frac{x}{4})^3 \right|_{-4}^{0} = F(0) - F(-4) $.

Вычисляем значения:

$ F(0) = \frac{4}{3}(5 + \frac{0}{4})^3 = \frac{4}{3}(5)^3 = \frac{4}{3} \cdot 125 = \frac{500}{3} $.

$ F(-4) = \frac{4}{3}(5 + \frac{-4}{4})^3 = \frac{4}{3}(5 - 1)^3 = \frac{4}{3}(4)^3 = \frac{4}{3} \cdot 64 = \frac{256}{3} $.

Находим разность:

$ \frac{500}{3} - \frac{256}{3} = \frac{500 - 256}{3} = \frac{244}{3} $.

Ответ: $ \frac{244}{3} $.