Номер 46, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

46. 1) $\int_{1}^{4} \left( 2x + \frac{3}{\sqrt{x}} \right) dx;$

2) $\int_{4}^{9} \left( 6 - \frac{5}{\sqrt{x}} \right) dx;$

3) $\int_{-5}^{0} \left( \frac{4}{\sqrt{x+9}} + 5 \right) dx;$

4) $\int_{0}^{8} \left( 7 - \frac{5}{\sqrt{1+x}} \right) dx.$

1) Решение:
Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{4} (2x + \frac{3}{\sqrt{x}}) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2x + \frac{3}{\sqrt{x}}$. Представим функцию в виде, удобном для интегрирования: $f(x) = 2x + 3x^{-1/2}$.
Первообразная находится как сумма первообразных для каждого слагаемого, используя табличные интегралы $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:
$F(x) = \int (2x + 3x^{-1/2}) dx = \int 2x dx + \int 3x^{-1/2} dx = 2\frac{x^{1+1}}{1+1} + 3\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 2\frac{x^2}{2} + 3\frac{x^{1/2}}{1/2} + C = x^2 + 6x^{1/2} + C = x^2 + 6\sqrt{x} + C$.
Теперь вычислим значение определенного интеграла, подставив пределы интегрирования:
$\int_{1}^{4} (2x + \frac{3}{\sqrt{x}}) dx = (x^2 + 6\sqrt{x}) \Big|_{1}^{4} = (4^2 + 6\sqrt{4}) - (1^2 + 6\sqrt{1}) = (16 + 6 \cdot 2) - (1 + 6 \cdot 1) = (16+12) - 7 = 28 - 7 = 21$.
Ответ: 21.

2) Решение:
Вычислим интеграл $\int_{4}^{9} (6 - \frac{5}{\sqrt{x}}) dx$. Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = 6 - \frac{5}{\sqrt{x}}$.
Перепишем функцию: $f(x) = 6 - 5x^{-1/2}$.
Интегрируем, используя табличные интегралы:
$F(x) = \int (6 - 5x^{-1/2}) dx = \int 6 dx - \int 5x^{-1/2} dx = 6x - 5\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 6x - 5\frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 6x - 10x^{1/2} + C = 6x - 10\sqrt{x} + C$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{4}^{9} (6 - \frac{5}{\sqrt{x}}) dx = (6x - 10\sqrt{x}) \Big|_{4}^{9} = (6 \cdot 9 - 10\sqrt{9}) - (6 \cdot 4 - 10\sqrt{4}) = (54 - 10 \cdot 3) - (24 - 10 \cdot 2) = (54 - 30) - (24 - 20) = 24 - 4 = 20$.
Ответ: 20.

3) Решение:
Вычислим интеграл $\int_{-5}^{0} (\frac{4}{\sqrt{x+9}} + 5) dx$. Найдем первообразную для $f(x) = \frac{4}{\sqrt{x+9}} + 5$.
Перепишем функцию: $f(x) = 4(x+9)^{-1/2} + 5$.
Для первого слагаемого используем правило интегрирования сложной функции $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае $k=1$.
$F(x) = \int (4(x+9)^{-1/2} + 5) dx = 4 \int (x+9)^{-1/2} dx + \int 5 dx = 4\frac{(x+9)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + 5x + C = 4\frac{(x+9)^{1/2}}{1/2} + 5x + C = 8\sqrt{x+9} + 5x + C$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-5}^{0} (\frac{4}{\sqrt{x+9}} + 5) dx = (8\sqrt{x+9} + 5x) \Big|_{-5}^{0} = (8\sqrt{0+9} + 5 \cdot 0) - (8\sqrt{-5+9} + 5(-5)) = (8\sqrt{9}) - (8\sqrt{4} - 25) = (8 \cdot 3) - (8 \cdot 2 - 25) = 24 - (16 - 25) = 24 - (-9) = 24 + 9 = 33$.
Ответ: 33.

4) Решение:
Вычислим интеграл $\int_{0}^{8} (7 - \frac{5}{\sqrt{1+x}}) dx$. Найдем первообразную для $f(x) = 7 - \frac{5}{\sqrt{1+x}}$.
Перепишем функцию: $f(x) = 7 - 5(1+x)^{-1/2}$.
Интегрируем, используя правило для сложной функции для второго слагаемого:
$F(x) = \int (7 - 5(1+x)^{-1/2}) dx = \int 7 dx - 5 \int (1+x)^{-1/2} dx = 7x - 5\frac{(1+x)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 7x - 5\frac{(1+x)^{1/2}}{1/2} + C = 7x - 10\sqrt{1+x} + C$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{8} (7 - \frac{5}{\sqrt{1+x}}) dx = (7x - 10\sqrt{1+x}) \Big|_{0}^{8} = (7 \cdot 8 - 10\sqrt{1+8}) - (7 \cdot 0 - 10\sqrt{1+0}) = (56 - 10\sqrt{9}) - (0 - 10\sqrt{1}) = (56 - 10 \cdot 3) - (-10) = (56 - 30) + 10 = 26 + 10 = 36$.
Ответ: 36.