Номер 49, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

49. При каких значениях x выполняется равенство:

1) $-3t^2 dt = 0;$

2) $4tdt = 2;$

3) $15t^4 dt = 96;$

4) $9t^2 dt = 3?$

1) $\int_{-1}^{x} -3t^2 dt = 0$
Решение:
Для решения этого уравнения вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(t) dt = F(b) - F(a)$, где $F(t)$ является первообразной для функции $f(t)$.
Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(t) = -3t^2$:
$F(t) = \int -3t^2 dt = -3 \cdot \frac{t^{2+1}}{2+1} = -3 \cdot \frac{t^3}{3} = -t^3$.
Теперь подставим пределы интегрирования в первообразную:
$\int_{-1}^{x} -3t^2 dt = [-t^3]_{-1}^{x} = (-x^3) - (-(-1)^3) = -x^3 - (1) = -x^3 - 1$.
Приравняем полученное выражение к нулю и решим уравнение относительно $x$:
$-x^3 - 1 = 0$
$-x^3 = 1$
$x^3 = -1$
$x = -1$.
Ответ: $x = -1$.

2) $\int_x^1 4t dt = 2$
Решение:
Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Найдем первообразную для $f(t) = 4t$:
$F(t) = \int 4t dt = 4 \cdot \frac{t^{1+1}}{1+1} = 4 \cdot \frac{t^2}{2} = 2t^2$.
Вычислим определенный интеграл:
$\int_x^1 4t dt = [2t^2]_x^1 = 2(1)^2 - 2(x)^2 = 2 - 2x^2$.
Теперь решим уравнение:
$2 - 2x^2 = 2$
$-2x^2 = 2 - 2$
$-2x^2 = 0$
$x^2 = 0$
$x = 0$.
Ответ: $x = 0$.

3) $\int_0^x 15t^4 dt = 96$
Решение:
Сначала находим первообразную для функции $f(t) = 15t^4$:
$F(t) = \int 15t^4 dt = 15 \cdot \frac{t^{4+1}}{4+1} = 15 \cdot \frac{t^5}{5} = 3t^5$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_0^x 15t^4 dt = [3t^5]_0^x = 3(x)^5 - 3(0)^5 = 3x^5$.
Составим и решим уравнение:
$3x^5 = 96$
$x^5 = \frac{96}{3}$
$x^5 = 32$
$x = \sqrt[5]{32}$
$x = 2$.
Ответ: $x = 2$.

4) $\int_x^0 9t^2 dt = 3$
Решение:
Найдем первообразную для $f(t) = 9t^2$:
$F(t) = \int 9t^2 dt = 9 \cdot \frac{t^{2+1}}{2+1} = 9 \cdot \frac{t^3}{3} = 3t^3$.
Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_x^0 9t^2 dt = [3t^3]_x^0 = 3(0)^3 - 3(x)^3 = 0 - 3x^3 = -3x^3$.
Теперь решим полученное уравнение:
$-3x^3 = 3$
$x^3 = \frac{3}{-3}$
$x^3 = -1$
$x = \sqrt[3]{-1}$
$x = -1$.
Ответ: $x = -1$.