Номер 45, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

45. 1) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right) d x$;

2) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right) d x$;

3) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{2}{\cos ^{2}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)} d x$;

4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{3}{\sin ^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)} d x$.

45. 1)

Решение

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = \sin(x - \frac{\pi}{3})$. Первообразной для $\sin(u)$ является $-\cos(u)$. В нашем случае $u = x - \frac{\pi}{3}$, поэтому первообразная $F(x) = -\cos(x - \frac{\pi}{3})$.

Теперь вычислим интеграл:

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin(x-\frac{\pi}{3})dx = \left[-\cos(x-\frac{\pi}{3})\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = -\cos(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}) - (-\cos(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3})) = -\cos(0) + \cos(-\frac{\pi}{6}) = -1 + \cos(\frac{\pi}{6}) = -1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}-2}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}-2}{2}$.

2)

Решение

Найдем первообразную для функции $f(x) = \cos(x + \frac{\pi}{6})$. Первообразной для $\cos(u)$ является $\sin(u)$. В нашем случае $u = x + \frac{\pi}{6}$, поэтому первообразная $F(x) = \sin(x + \frac{\pi}{6})$.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x+\frac{\pi}{6})dx = \left[\sin(x+\frac{\pi}{6})\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}) - \sin(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{3\pi+\pi}{6}) - \sin(\frac{2\pi+\pi}{6}) = \sin(\frac{4\pi}{6}) - \sin(\frac{3\pi}{6}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{3}-2}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}-2}{2}$.

3)

Решение

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{2}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})}$. Первообразной для $\frac{1}{\cos^2(u)}$ является $\tan(u)$. В нашем случае $u = x - \frac{\pi}{4}$, поэтому первообразная $F(x) = 2\tan(x - \frac{\pi}{4})$.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{2}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})}dx = \left[2\tan(x - \frac{\pi}{4})\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = 2\tan(0 - \frac{\pi}{4}) - 2\tan(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = 2\tan(-\frac{\pi}{4}) - 2\tan(-\frac{3\pi}{4})$.

Так как $\tan(-\alpha) = -\tan(\alpha)$, то $\tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.

Также $\tan(-\frac{3\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Следовательно, $2(-1) - 2(1) = -2 - 2 = -4$.

Ответ: -4.

4)

Решение

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{3}{\sin^2(x + \frac{\pi}{4})}$. Первообразной для $\frac{1}{\sin^2(u)}$ является $-\cot(u)$. В нашем случае $u = x + \frac{\pi}{4}$, поэтому первообразная $F(x) = -3\cot(x + \frac{\pi}{4})$.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{3}{\sin^2(x + \frac{\pi}{4})}dx = \left[-3\cot(x + \frac{\pi}{4})\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -3\cot(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) - (-3\cot(0 + \frac{\pi}{4})) = -3\cot(\frac{3\pi}{4}) + 3\cot(\frac{\pi}{4})$.

Так как $\cot(\frac{3\pi}{4}) = -1$ и $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, то:

$-3(-1) + 3(1) = 3 + 3 = 6$.

Ответ: 6.