Номер 38, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

38. 1) $\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} dx;$

2) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin^2 x} dx;$

3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx;$

4) $\int_{9}^{16} \frac{3}{\sqrt{x}} dx.$

1)

Решение

Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-\frac{1}{2}}$.

Первообразная для степенной функции $x^n$ находится по формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

В нашем случае $n = -\frac{1}{2}$, поэтому:

$F(x) = \int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}$.

Теперь подставим пределы интегрирования $a=1$ и $b=4$ в формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = [2\sqrt{x}]_{1}^{4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 4 - 2 = 2$.

Ответ: 2

2)

Решение

Вычислим определенный интеграл $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin^2 x} dx$ по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$.

Подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Первообразная для этой функции является табличной: $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$.

Итак, $F(x) = -\cot x$.

Подставим пределы интегрирования $a=\frac{\pi}{4}$ и $b=\frac{\pi}{3}$:

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin^2 x} dx = [-\cot x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = (-\cot(\frac{\pi}{3})) - (-\cot(\frac{\pi}{4})) = -\cot(\frac{\pi}{3}) + \cot(\frac{\pi}{4})$.

Значения котангенса: $\cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Подставляем значения: $-\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$

3)

Решение

Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx$ по формуле Ньютона-Лейбница.

Подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Первообразная для этой функции является табличной: $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$.

Следовательно, $F(x) = \tan x$.

Подставим пределы интегрирования $a=0$ и $b=\frac{\pi}{4}$:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = [\tan x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(0)$.

Значения тангенса: $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\tan(0) = 0$.

Подставляем значения: $1 - 0 = 1$.

Ответ: 1

4)

Решение

Для вычисления определенного интеграла $\int_{9}^{16} \frac{3}{\sqrt{x}} dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница и свойством линейности интеграла.

$\int_{9}^{16} \frac{3}{\sqrt{x}} dx = 3 \int_{9}^{16} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$.

Как и в первом задании, ее первообразная равна $2\sqrt{x}$.

Тогда первообразная для $3f(x)$ будет $F(x) = 3 \cdot 2\sqrt{x} = 6\sqrt{x}$.

Теперь подставим пределы интегрирования $a=9$ и $b=16$ в формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{9}^{16} \frac{3}{\sqrt{x}} dx = [6\sqrt{x}]_{9}^{16} = 6\sqrt{16} - 6\sqrt{9} = 6 \cdot 4 - 6 \cdot 3 = 24 - 18 = 6$.

Ответ: 6