Номер 33, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

$y = \sin \frac{x}{2}$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{3\pi}{2}$;

2) $y = \cos 2x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$.

1) $y=\sin\frac{x}{2}, \quad y=0, \quad x=\frac{\pi}{2}, \quad x=\frac{3\pi}{2}$

Дано:

Фигура ограничена линиями:
$y = \sin \frac{x}{2}$
$y = 0$ (ось Ox)
$x = \frac{\pi}{2}$
$x = \frac{3\pi}{2}$

Найти:

Площадь $S$ данной фигуры.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $y=f(x)$, снизу осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница, если функция $f(x)$ неотрицательна на отрезке $[a, b]$:

$S = \int_a^b f(x)dx$

В данном случае $f(x) = \sin\frac{x}{2}$, $a = \frac{\pi}{2}$, $b = \frac{3\pi}{2}$.

Проверим знак функции $f(x) = \sin\frac{x}{2}$ на отрезке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.
Если $x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$, то аргумент синуса $\frac{x}{2}$ находится в пределах $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$.
В этом интервале (I и II четверти) синус принимает положительные значения. Следовательно, $\sin\frac{x}{2} \ge 0$ на всем отрезке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. Значит, мы можем применить указанную формулу.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \sin\frac{x}{2} dx$

Первообразная для функции $\sin\frac{x}{2}$ равна $\frac{-\cos(x/2)}{1/2} = -2\cos\frac{x}{2}$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ -2\cos\frac{x}{2} \right]_{\pi/2}^{3\pi/2} = \left(-2\cos\frac{3\pi/2}{2}\right) - \left(-2\cos\frac{\pi/2}{2}\right) = -2\cos\frac{3\pi}{4} + 2\cos\frac{\pi}{4}$

Зная, что $\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставляем эти значения:

$S = -2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}$

2) $y=\cos 2x, \quad y=0, \quad x=-\frac{\pi}{4}, \quad x=\frac{\pi}{4}$

Дано:

Фигура ограничена линиями:
$y = \cos 2x$
$y = 0$ (ось Ox)
$x = -\frac{\pi}{4}$
$x = \frac{\pi}{4}$

Найти:

Площадь $S$ данной фигуры.

Решение:

Площадь фигуры вычисляется по формуле $S = \int_a^b f(x)dx$.

В данном случае $f(x) = \cos 2x$, $a = -\frac{\pi}{4}$, $b = \frac{\pi}{4}$.

Проверим знак функции $f(x) = \cos 2x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.
Если $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$, то аргумент косинуса $2x$ находится в пределах $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
В этом интервале (IV и I четверти) косинус принимает неотрицательные значения. Следовательно, $\cos 2x \ge 0$ на всем отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$, и мы можем применить формулу для площади.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos 2x dx$

Первообразная для функции $\cos 2x$ равна $\frac{\sin 2x}{2}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{1}{2}\sin 2x \right]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-z) = -\sin(z)$, получаем:

$S = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} = \sin\frac{\pi}{2}$

Так как $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, то площадь равна:

$S = 1$

Замечание: так как функция $y=\cos 2x$ является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, можно было вычислить интеграл как $S = 2 \int_{0}^{\pi/4} \cos 2x dx$, что привело бы к тому же результату.

Ответ: 1