Вопросы, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Чем отличается понятие криволинейной трапеции от понятия трапеции?

2. Можно ли вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью известных формул из геометрии?

3. Какой должна быть функция $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$?

1. Чем отличается понятие криволинейной трапеции от понятия трапеции?

Основное отличие между обычной (или евклидовой) трапецией и криволинейной трапецией заключается в форме их границ.

Трапеция в геометрии — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие — нет (боковые стороны). Важно, что все четыре стороны трапеции являются прямыми линиями (отрезками).

Криволинейная трапеция — это фигура на координатной плоскости, ограниченная:

• осью абсцисс ($Ox$);
• двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$;
• графиком непрерывной функции $y=f(x)$, где $f(x) \geq 0$ на отрезке $[a; b]$.

Ответ: Главное отличие в том, что у обычной трапеции все четыре стороны — это прямые отрезки, а у криволинейной трапеции одна из сторон является кривой линией, заданной графиком функции.

2. Можно ли вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью известных формул из геометрии?

Нет, вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью стандартных формул из школьного курса геометрии (например, формулы площади трапеции $S = \frac{a+b}{2}h$) нельзя. Эти формулы применимы только для многоугольников, то есть фигур, ограниченных прямыми линиями.

Поскольку у криволинейной трапеции одна из границ является кривой, для нахождения её точной площади требуется метод, который может учитывать эту кривизну. Таким методом является интегрирование. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $y=f(x)$, снизу — осью $Ox$, и с боков — прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется с помощью определённого интеграла:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

Этот интеграл представляет собой предел суммы площадей бесконечного числа бесконечно узких прямоугольников, на которые мысленно разбивается фигура.

Ответ: Нет, площадь криволинейной трапеции нельзя вычислить с помощью известных формул из геометрии, так как они предназначены для фигур с прямолинейными сторонами. Для вычисления ее площади используется определенный интеграл.

3. Какой должна быть функция y = f(x) на отрезке [a; b]?

Для того чтобы можно было определить криволинейную трапецию в её классическом виде и вычислить её площадь с помощью определённого интеграла, функция $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$ должна удовлетворять двум основным условиям:

1. Непрерывность. Функция $f(x)$ должна быть непрерывной на всём отрезке $[a; b]$. Это означает, что её график на этом отрезке является сплошной линией без разрывов, скачков или проколов. Непрерывность функции является достаточным условием для её интегрируемости на отрезке.

2. Неотрицательность. Функция $f(x)$ должна быть неотрицательной на отрезке $[a; b]$, то есть $f(x) \geq 0$ для всех $x$ из $[a; b]$. Это условие гарантирует, что график функции находится выше или на оси абсцисс. В этом случае значение определённого интеграла $\int_{a}^{b} f(x) \,dx$ геометрически совпадает с площадью соответствующей криволинейной трапеции. Если функция принимает отрицательные значения, интеграл будет вычислять "знаковую" площадь, где участки под осью $Ox$ вносят отрицательный вклад.

Ответ: Для классического определения криволинейной трапеции и вычисления ее площади через интеграл, функция $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$ должна быть непрерывной и неотрицательной ($f(x) \geq 0$).