Номер 20, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

20. 1) $f(x) = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{3} + 2x\right)}$;

2) $f(x) = \frac{1}{\sin^2\left(3x - \frac{\pi}{8}\right)}$;

3) $f(x) = 1 - \frac{5}{\sin^2\left(\frac{x}{5} + \frac{\pi}{6}\right)}$;

4) $f(x) = 1 + \frac{6}{\cos^2\left(\frac{x}{6} - \frac{\pi}{5}\right)}$.

1) Решение:

Период функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{3} + 2x)}$ совпадает с периодом функции $g(x) = \cos^2(\frac{\pi}{3} + 2x)$, так как операция взятия обратной величины не изменяет период.

Основной период функции $\cos^2(t)$ равен $\pi$. Для функции вида $y=h(kx+b)$, где $T_h$ — основной период функции $h(t)$, основной период $T$ функции $y$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_h}{|k|}$.

В нашем случае $h(t) = \cos^2(t)$, поэтому $T_h = \pi$. Аргумент функции — $\frac{\pi}{3} + 2x$, следовательно, коэффициент $k=2$.

Таким образом, основной период функции $f(x)$ равен:

$T = \frac{\pi}{|2|} = \frac{\pi}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

2) Решение:

Период функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2(3x - \frac{\pi}{8})}$ совпадает с периодом функции $g(x) = \sin^2(3x - \frac{\pi}{8})$.

Основной период функции $\sin^2(t)$ равен $\pi$. Период функции вида $y=h(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{T_h}{|k|}$, где $T_h$ — основной период функции $h(t)$.

В данном случае $h(t) = \sin^2(t)$, поэтому $T_h = \pi$. Аргумент функции — $3x - \frac{\pi}{8}$, следовательно, коэффициент $k=3$.

Основной период функции $f(x)$ равен:

$T = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

3) Решение:

Для функции $f(x) = 1 - \frac{5}{\sin^2(\frac{x}{5} + \frac{\pi}{6})}$, операции сложения с константой и умножения на константу не влияют на период. Поэтому период $f(x)$ совпадает с периодом функции $g(x) = \sin^2(\frac{x}{5} + \frac{\pi}{6})$.

Основной период функции $\sin^2(t)$ равен $\pi$. Период функции вида $y=h(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{T_h}{|k|}$.

Здесь $h(t) = \sin^2(t)$ с периодом $T_h = \pi$. Аргумент функции — $\frac{x}{5} + \frac{\pi}{6}$, следовательно, коэффициент $k=\frac{1}{5}$.

Основной период функции $f(x)$ равен:

$T = \frac{\pi}{|\frac{1}{5}|} = 5\pi$

Ответ: $5\pi$.

4) Решение:

Период функции $f(x) = 1 + \frac{6}{\cos^2(\frac{x}{6} - \frac{\pi}{5})}$ не изменяется при сложении с константой и умножении на константу. Следовательно, период $f(x)$ равен периоду функции $g(x) = \cos^2(\frac{x}{6} - \frac{\pi}{5})$.

Основной период функции $\cos^2(t)$ равен $\pi$. Период функции вида $y=h(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{T_h}{|k|}$.

В этом случае $h(t) = \cos^2(t)$ с периодом $T_h = \pi$. Аргумент функции — $\frac{x}{6} - \frac{\pi}{5}$, следовательно, коэффициент $k=\frac{1}{6}$.

Основной период функции $f(x)$ равен:

$T = \frac{\pi}{|\frac{1}{6}|} = 6\pi$

Ответ: $6\pi$.