Номер 14, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Выясните, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на указанном промежутке (14–16):

14. 1) $F(x) = x\sin x, f(x) = \sin x + x\cos x, x \in R;$

2) $F(x) = x\cos x, f(x) = \cos x - x\sin x, x \in R;$

3) $F(x) = 2\sin 6x, f(x) = 12\cos 6x, x \in R;$

4) $F(x) = -5\cos \frac{x}{5}, f(x) = \sin \frac{x}{5}, x \in R;$

5) $F(x) = 2\cos 2x - \sin 4x, f(x) = -4(\sin 2x + \cos 4x), x \in R;$

6) $F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x + \frac{1}{4}\cos 8x, f(x) = \cos 3x - 2\sin 8x, x \in R.$

Функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Чтобы это проверить, для каждого пункта найдем производную функции $F(x)$ и сравним ее с $f(x)$.

1) $F(x) = x \sin x$, $f(x) = \sin x + x \cos x$, $x \in R$

Найдем производную $F(x)$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$F'(x) = (x \sin x)' = (x)' \sin x + x (\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$.

Сравнивая результат с $f(x)$, получаем: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: да, является.

2) $F(x) = x \cos x$, $f(x) = \cos x - x \sin x$, $x \in R$

Найдем производную $F(x)$, используя правило дифференцирования произведения:

$F'(x) = (x \cos x)' = (x)' \cos x + x (\cos x)' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x$.

Сравнивая результат с $f(x)$, получаем: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: да, является.

3) $F(x) = 2 \sin 6x$, $f(x) = 12 \cos 6x$, $x \in R$

Найдем производную $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = (2 \sin 6x)' = 2 \cdot (\sin 6x)' = 2 \cdot \cos(6x) \cdot (6x)' = 2 \cdot \cos(6x) \cdot 6 = 12 \cos 6x$.

Сравнивая результат с $f(x)$, получаем: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: да, является.

4) $F(x) = -5 \cos \frac{x}{5}$, $f(x) = \sin \frac{x}{5}$, $x \in R$

Найдем производную $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = \left(-5 \cos \frac{x}{5}\right)' = -5 \cdot \left(-\sin \frac{x}{5}\right) \cdot \left(\frac{x}{5}\right)' = 5 \sin \frac{x}{5} \cdot \frac{1}{5} = \sin \frac{x}{5}$.

Сравнивая результат с $f(x)$, получаем: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: да, является.

5) $F(x) = 2 \cos 2x - \sin 4x$, $f(x) = -4(\sin 2x + \cos 4x)$, $x \in R$

Найдем производную $F(x)$, дифференцируя каждое слагаемое:

$F'(x) = (2 \cos 2x - \sin 4x)' = (2 \cos 2x)' - (\sin 4x)' = 2(-\sin 2x) \cdot (2x)' - \cos(4x) \cdot (4x)'$

$= -2 \sin(2x) \cdot 2 - \cos(4x) \cdot 4 = -4 \sin 2x - 4 \cos 4x = -4(\sin 2x + \cos 4x)$.

Сравнивая результат с $f(x)$, получаем: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: да, является.

6) $F(x) = \frac{1}{3} \sin 3x + \frac{1}{4} \cos 8x$, $f(x) = \cos 3x - 2 \sin 8x$, $x \in R$

Найдем производную $F(x)$, дифференцируя каждое слагаемое:

$F'(x) = \left(\frac{1}{3} \sin 3x + \frac{1}{4} \cos 8x\right)' = \left(\frac{1}{3} \sin 3x\right)' + \left(\frac{1}{4} \cos 8x\right)'$

$= \frac{1}{3} \cos(3x) \cdot (3x)' + \frac{1}{4}(-\sin 8x) \cdot (8x)' = \frac{1}{3} \cos(3x) \cdot 3 - \frac{1}{4} \sin(8x) \cdot 8 = \cos 3x - 2 \sin 8x$.

Сравнивая результат с $f(x)$, получаем: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: да, является.