Номер 10, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Найдите первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, график которой проходит через точку $M(a, b)$ (10–11):

10.1) $f(x) = 1 + \frac{x}{2}$, $M(1; 3)$;

2) $f(x) = 2 + 4x$, $M(-1; 1)$;

3) $f(x) = \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$, $M\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$;

4) $f(x) = \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$, $M\left(\frac{3\pi}{2}; 2\right)$.

1)

Дано:

$f(x) = 1 + \frac{x}{2}$

График первообразной $F(x)$ проходит через точку $M(1; 3)$.

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Общий вид первообразной для функции $f(x)$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int f(x) dx = \int (1 + \frac{x}{2}) dx$.

Используя свойства интегралов и таблицу первообразных, получаем:

$F(x) = \int 1 dx + \int \frac{x}{2} dx = x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = x + \frac{x^2}{4} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

По условию, график первообразной $F(x)$ проходит через точку $M(1; 3)$, что означает $F(1) = 3$.

Подставим $x = 1$ и $F(1) = 3$ в выражение для $F(x)$:

$3 = 1 + \frac{1^2}{4} + C$

$3 = 1 + \frac{1}{4} + C$

$3 = \frac{5}{4} + C$

Отсюда находим константу $C$:

$C = 3 - \frac{5}{4} = \frac{12}{4} - \frac{5}{4} = \frac{7}{4}$.

Подставляем найденное значение $C$ в общую формулу первообразной:

$F(x) = x + \frac{x^2}{4} + \frac{7}{4}$.

Ответ: $F(x) = x + \frac{x^2}{4} + \frac{7}{4}$.

2)

Дано:

$f(x) = 2 + 4x$

График первообразной $F(x)$ проходит через точку $M(-1; 1)$.

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Общий вид первообразной для функции $f(x)$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int (2 + 4x) dx$.

Используя свойства интегралов и таблицу первообразных, получаем:

$F(x) = \int 2 dx + \int 4x dx = 2x + 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 2x + 2x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

По условию, график первообразной $F(x)$ проходит через точку $M(-1; 1)$, что означает $F(-1) = 1$.

Подставим $x = -1$ и $F(-1) = 1$ в выражение для $F(x)$:

$1 = 2(-1) + 2(-1)^2 + C$

$1 = -2 + 2(1) + C$

$1 = -2 + 2 + C$

Отсюда находим константу $C$:

$C = 1$.

Подставляем найденное значение $C$ в общую формулу первообразной и упорядочиваем слагаемые:

$F(x) = 2x^2 + 2x + 1$.

Ответ: $F(x) = 2x^2 + 2x + 1$.

3)

Дано:

$f(x) = \cos(x - \frac{\pi}{3})$

График первообразной $F(x)$ проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; 1)$.

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Общий вид первообразной для функции $f(x)$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int \cos(x - \frac{\pi}{3}) dx$.

Используя формулу для интеграла от косинуса сложного аргумента $\int \cos(kx+b)dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b)+C$, где $k=1$ и $b=-\frac{\pi}{3}$, получаем:

$F(x) = \sin(x - \frac{\pi}{3}) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

По условию, график первообразной $F(x)$ проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; 1)$, что означает $F(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Подставим $x = \frac{\pi}{2}$ и $F(\frac{\pi}{2}) = 1$ в выражение для $F(x)$:

$1 = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) + C$

$1 = \sin(\frac{3\pi - 2\pi}{6}) + C$

$1 = \sin(\frac{\pi}{6}) + C$

Значение синуса $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

$1 = \frac{1}{2} + C$

Отсюда находим константу $C$:

$C = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Подставляем найденное значение $C$ в общую формулу первообразной:

$F(x) = \sin(x - \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2}$.

Ответ: $F(x) = \sin(x - \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2}$.

4)

Дано:

$f(x) = \sin(x - \frac{\pi}{4})$

График первообразной $F(x)$ проходит через точку $M(\frac{3\pi}{2}; 2)$.

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Общий вид первообразной для функции $f(x)$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int \sin(x - \frac{\pi}{4}) dx$.

Используя формулу для интеграла от синуса сложного аргумента $\int \sin(kx+b)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b)+C$, где $k=1$ и $b=-\frac{\pi}{4}$, получаем:

$F(x) = -\cos(x - \frac{\pi}{4}) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

По условию, график первообразной $F(x)$ проходит через точку $M(\frac{3\pi}{2}; 2)$, что означает $F(\frac{3\pi}{2}) = 2$.

Подставим $x = \frac{3\pi}{2}$ и $F(\frac{3\pi}{2}) = 2$ в выражение для $F(x)$:

$2 = -\cos(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) + C$

$2 = -\cos(\frac{6\pi - \pi}{4}) + C$

$2 = -\cos(\frac{5\pi}{4}) + C$

Вычислим значение косинуса. Используя формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:

$\cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим это значение в уравнение:

$2 = -(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + C$

$2 = \frac{\sqrt{2}}{2} + C$

Отсюда находим константу $C$:

$C = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем найденное значение $C$ в общую формулу первообразной:

$F(x) = -\cos(x - \frac{\pi}{4}) + 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $F(x) = -\cos(x - \frac{\pi}{4}) + 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.