Номер 4, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

4.

1) $F(x) = 3\operatorname{tg}x$, $f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$, $x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$;

2) $F(x) = 5\operatorname{ctg}x$, $f(x) = -\frac{5}{\sin^2 x}$, $x \in (0; \pi)?$

1)

Решение

Чтобы проверить, является ли функция $F(x) = 3\text{tg}x$ первообразной для функции $f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$ на интервале $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$ для всех $x$ из данного интервала.

По определению, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, если $F'(x) = f(x)$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (3\text{tg}x)'$

Используя правило вынесения постоянного множителя за знак производной и табличную производную тангенса $(\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, получаем:

$F'(x) = 3 \cdot (\text{tg}x)' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{3}{\cos^2 x}$

Теперь сравним полученный результат с функцией $f(x)$:

$F'(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$

$f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$

Так как $F'(x) = f(x)$, и это равенство выполняется для всех $x$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ (на этом интервале $\cos x \neq 0$), то функция $F(x)$ действительно является первообразной для функции $f(x)$ на заданном интервале.

Ответ: Да, является.

2)

Решение

Аналогично, чтобы проверить, является ли функция $F(x) = 5\text{ctg}x$ первообразной для функции $f(x) = -\frac{5}{\sin^2 x}$ на интервале $x \in (0; \pi)$, необходимо найти производную $F'(x)$ и сравнить ее с $f(x)$ на этом интервале.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (5\text{ctg}x)'$

Используя правило вынесения постоянного множителя за знак производной и табличную производную котангенса $(\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$, получаем:

$F'(x) = 5 \cdot (\text{ctg}x)' = 5 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{5}{\sin^2 x}$

Теперь сравним полученный результат с функцией $f(x)$:

$F'(x) = -\frac{5}{\sin^2 x}$

$f(x) = -\frac{5}{\sin^2 x}$

Так как $F'(x) = f(x)$, и это равенство выполняется для всех $x$ из интервала $(0; \pi)$ (на этом интервале $\sin x \neq 0$), то функция $F(x)$ действительно является первообразной для функции $f(x)$ на заданном интервале.

Ответ: Да, является.