Номер 1, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Является ли функция $F(x)$ первообразной функции $f(x)$ на указанном промежутке (1–4):

1) $F(x) = 2x^2 + x + 1$, $f(x) = 4x + 1$, $x \in R$;

2) $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + x + 1$, $f(x) = x + 1$, $x \in R$.

Чтобы определить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с функцией $f(x)$. Если $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из указанного промежутка, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

1)

Дано:

$F(x) = 2x^2 + x + 1$

$f(x) = 4x + 1$

Промежуток: $x \in \mathbb{R}$

Найти:

Является ли $F(x)$ первообразной для $f(x)$.

Решение:

Найдем производную функции $F(x)$ по правилам дифференцирования:

$F'(x) = (2x^2 + x + 1)' = (2x^2)' + (x)' + (1)'$

Используя правило производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю, получаем:

$F'(x) = 2 \cdot 2x^{2-1} + 1 \cdot x^{1-1} + 0 = 4x^1 + 1 \cdot x^0 = 4x + 1$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = 4x + 1$

$f(x) = 4x + 1$

Так как $F'(x) = f(x)$ на всей числовой прямой ($\mathbb{R}$), то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Ответ: Да, является.

2)

Дано:

$F(x) = \frac{1}{2}x^2 + x + 1$

$f(x) = x + 1$

Промежуток: $x \in \mathbb{R}$

Найти:

Является ли $F(x)$ первообразной для $f(x)$.

Решение:

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\frac{1}{2}x^2 + x + 1)' = (\frac{1}{2}x^2)' + (x)' + (1)'$

Применяя те же правила дифференцирования:

$F'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} + 1 \cdot x^{1-1} + 0 = 1 \cdot x^1 + 1 \cdot x^0 = x + 1$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = x + 1$

$f(x) = x + 1$

Поскольку $F'(x) = f(x)$ на всей числовой прямой ($\mathbb{R}$), то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Ответ: Да, является.