Номер 13, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

13. Найдите промежутки монотонности функции:

1) f(x) $= \frac{x}{x - 1}$;

2) f(x) $= \frac{x^2}{x + 3}$;

3) f(x) $= \frac{2x}{16 - x^2}$;

4) f(x) $= \frac{x^2 - 1}{x^2 - 9}$;

5) f(x) $= \sqrt{x} \cdot (x + 4)$;

6) f(x) $= \sqrt{x - 1} \cdot (5 - x)$.

1) f(x) = $\frac{x}{x - 1}$

Решение

Для нахождения промежутков монотонности функции найдем ее производную. Сначала определим область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$. Область определения $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = (\frac{x}{x-1})' = \frac{(x)'(x-1) - x(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{1 \cdot (x-1) - x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$. Уравнение $\frac{-1}{(x-1)^2} = 0$ не имеет решений, так как числитель равен -1.

Производная не существует в точке $x=1$, но эта точка не входит в область определения функции.

Определим знак производной на всей области определения. Знаменатель $(x-1)^2$ всегда положителен при $x \neq 1$. Числитель равен -1 (отрицателен). Следовательно, $f'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения.

Так как производная отрицательна на всей области определения, функция убывает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

2) f(x) = $\frac{x^2}{x + 3}$

Решение

Область определения функции: $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$. $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{x^2}{x+3})' = \frac{(x^2)'(x+3) - x^2(x+3)'}{(x+3)^2} = \frac{2x(x+3) - x^2 \cdot 1}{(x+3)^2} = \frac{2x^2 + 6x - x^2}{(x+3)^2} = \frac{x^2 + 6x}{(x+3)^2} = \frac{x(x+6)}{(x+3)^2}$.

Приравняем производную к нулю для нахождения стационарных точек: $f'(x)=0 \implies x(x+6)=0$. Отсюда $x_1=0$, $x_2=-6$.

Производная не определена в точке $x=-3$, которая не входит в область определения функции.

Отметим точки $x=-6$, $x=-3$, $x=0$ на числовой прямой и определим знаки производной на полученных интервалах. Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $x(x+6)$, так как знаменатель $(x+3)^2$ всегда положителен.

• При $x \in (-\infty; -6)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-6; -3)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-3; 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -6]$ и $[0; +\infty)$; функция убывает на промежутках $[-6; -3)$ и $(-3; 0]$.

3) f(x) = $\frac{2x}{16 - x^2}$

Решение

Область определения функции: $16 - x^2 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 4$. $D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; 4) \cup (4; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{2x}{16-x^2})' = \frac{(2x)'(16-x^2) - 2x(16-x^2)'}{(16-x^2)^2} = \frac{2(16-x^2) - 2x(-2x)}{(16-x^2)^2} = \frac{32 - 2x^2 + 4x^2}{(16-x^2)^2} = \frac{2x^2 + 32}{(16-x^2)^2} = \frac{2(x^2 + 16)}{(16-x^2)^2}$.

Найдем критические точки. Уравнение $f'(x)=0 \implies 2(x^2+16)=0$ не имеет действительных решений, так как $x^2+16$ всегда больше нуля.

Производная не существует в точках $x=\pm 4$, которые не входят в область определения функции.

Определим знак производной. Числитель $2(x^2+16)$ всегда положителен. Знаменатель $(16-x^2)^2$ всегда положителен для всех $x$ из области определения. Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения функции.

Таким образом, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -4)$, $(-4; 4)$ и $(4; +\infty)$.

4) f(x) = $\frac{x^2 - 1}{x^2 - 9}$

Решение

Область определения функции: $x^2 - 9 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 3$. $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{x^2-1}{x^2-9})' = \frac{(x^2-1)'(x^2-9) - (x^2-1)(x^2-9)'}{(x^2-9)^2} = \frac{2x(x^2-9) - (x^2-1)(2x)}{(x^2-9)^2} = \frac{2x^3 - 18x - 2x^3 + 2x}{(x^2-9)^2} = \frac{-16x}{(x^2-9)^2}$.

Приравняем производную к нулю: $f'(x)=0 \implies -16x=0$, откуда $x=0$.

Производная не определена в точках $x=\pm 3$, которые не входят в область определения.

Отметим точки $x=-3$, $x=0$, $x=3$ на числовой прямой. Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $-16x$, так как знаменатель $(x^2-9)^2$ всегда положителен.

• При $x \in (-\infty; -3)$: $-16x > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-3; 0)$: $-16x > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; 3)$: $-16x < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (3; +\infty)$: $-16x < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3)$ и $(-3; 0]$; функция убывает на промежутках $[0; 3)$ и $(3; +\infty)$.

5) f(x) = $\sqrt{x} \cdot (x + 4)$

Решение

Область определения функции: $x \ge 0$. $D(f) = [0; +\infty)$.

Представим функцию в виде $f(x) = x^{1/2}(x+4) = x^{3/2} + 4x^{1/2}$ и найдем производную:

$f'(x) = (x^{3/2} + 4x^{1/2})' = \frac{3}{2}x^{1/2} + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2} + \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{3x+4}{2\sqrt{x}}$.

Производная определена для $x > 0$. Найдем критические точки. Уравнение $f'(x)=0 \implies 3x+4=0$ дает $x = -4/3$, что не входит в область определения функции.

Производная не определена в точке $x=0$, которая является граничной точкой области определения.

Определим знак производной на интервале $(0; +\infty)$. Для любого $x > 0$ числитель $3x+4$ положителен, и знаменатель $2\sqrt{x}$ также положителен. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x > 0$.

Таким образом, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

6) f(x) = $\sqrt{x - 1} \cdot (5 - x)$

Решение

Область определения функции: $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. $D(f) = [1; +\infty)$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (\sqrt{x-1})'(5-x) + \sqrt{x-1}(5-x)' = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}(5-x) + \sqrt{x-1}(-1) = \frac{5-x}{2\sqrt{x-1}} - \sqrt{x-1}$.

Приведем к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{5-x - 2\sqrt{x-1}\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}} = \frac{5-x-2(x-1)}{2\sqrt{x-1}} = \frac{5-x-2x+2}{2\sqrt{x-1}} = \frac{7-3x}{2\sqrt{x-1}}$.

Приравняем производную к нулю: $f'(x)=0 \implies 7-3x=0$, откуда $x = 7/3$. Эта точка принадлежит области определения ($7/3 \approx 2.33 > 1$).

Производная не определена при $x=1$, это граничная точка области определения.

Отметим точку $x=7/3$ на области определения $[1; +\infty)$ и определим знаки производной. Знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $7-3x$.

• При $x \in (1; 7/3)$: $7-3x > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (7/3; +\infty)$: $7-3x < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1; 7/3]$; функция убывает на промежутке $[7/3; +\infty)$.