Страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

8. Если $f(x) = x^3 - 1$, $g(x) = \sin x$ и $q(x) = \sqrt{x+1}$, то составьте следующие сложные функции:

1) $f(g(x))$

2) $f(q(x))$

3) $q(g(x))$

4) $g(f(x))$

5) $f(g(q(x)))$

6) $g(q(f(x)))$

Дано:

Даны три функции:

$f(x) = x^3 - 1$

$g(x) = \sin x$

$q(x) = \sqrt{x+1}$

Найти:

Составить сложные функции, указанные в пунктах.

Решение:

1) f(g(x));

Для нахождения сложной функции $f(g(x))$ (композиции функций $f$ и $g$) необходимо подставить функцию $g(x)$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$.

$f(g(x)) = f(\sin x) = (\sin x)^3 - 1 = \sin^3 x - 1$.

Ответ: $\sin^3 x - 1$.

2) f(q(x));

Для нахождения $f(q(x))$ подставляем функцию $q(x)$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$.

$f(q(x)) = f(\sqrt{x+1}) = (\sqrt{x+1})^3 - 1 = (x+1)^{3/2} - 1$.

Ответ: $(x+1)^{3/2} - 1$.

3) q(g(x));

Для нахождения $q(g(x))$ подставляем функцию $g(x)$ в качестве аргумента в функцию $q(x)$.

$q(g(x)) = q(\sin x) = \sqrt{\sin x + 1}$.

Ответ: $\sqrt{\sin x + 1}$.

4) g(f(x));

Для нахождения $g(f(x))$ подставляем функцию $f(x)$ в качестве аргумента в функцию $g(x)$.

$g(f(x)) = g(x^3 - 1) = \sin(x^3 - 1)$.

Ответ: $\sin(x^3 - 1)$.

5) f(g(q(x)));

Для нахождения этой тройной композиции работаем изнутри наружу. Сначала найдем внутреннюю композицию $g(q(x))$.

$g(q(x)) = g(\sqrt{x+1}) = \sin(\sqrt{x+1})$.

Теперь подставим полученный результат как аргумент в функцию $f(x)$.

$f(g(q(x))) = f(\sin(\sqrt{x+1})) = (\sin(\sqrt{x+1}))^3 - 1 = \sin^3(\sqrt{x+1}) - 1$.

Ответ: $\sin^3(\sqrt{x+1}) - 1$.

6) g(q(f(x)));

Аналогично предыдущему пункту, работаем изнутри наружу. Сначала найдем внутреннюю композицию $q(f(x))$.

$q(f(x)) = q(x^3-1) = \sqrt{(x^3-1)+1} = \sqrt{x^3}$.

Теперь подставим полученный результат как аргумент в функцию $g(x)$.

$g(q(f(x))) = g(\sqrt{x^3}) = \sin(\sqrt{x^3})$.

Ответ: $\sin(\sqrt{x^3})$.

9. Найдите производную функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 10 - 10x^7 + 2.5x^{10}$;

2) $f(x) = \frac{3x + 5}{4 - x}$;

3) $f(x) = \sqrt{11x - x^2}$;

4) $f(x) = (2x - x^3)\sqrt{2 - x^2}$;

5) $f(x) = 6\cos^3(4 - 3x)$;

6) $f(x) = \sin(4 - 3x)\operatorname{tg}(4 - 3x)$;

7) $f(x) = \frac{\sin 5x}{1 + 3x}$;

8) $f(x) = \frac{2 - 5x}{\cos 10x}$.

1) $f(x) = 10 - 10x^7 + 2,5x^{10}$

Решение

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы функций, правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и производной константы $(C)' = 0$.

$f'(x) = (10 - 10x^7 + 2,5x^{10})' = (10)' - (10x^7)' + (2,5x^{10})'$

$f'(x) = 0 - 10 \cdot 7x^{7-1} + 2,5 \cdot 10x^{10-1}$

$f'(x) = -70x^6 + 25x^9$

Ответ: $f'(x) = 25x^9 - 70x^6$.

2) $f(x) = \frac{3x + 5}{4 - x}$

Решение

Используем правило дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 3x + 5$ и $v(x) = 4 - x$.

Тогда их производные: $u'(x) = 3$ и $v'(x) = -1$.

$f'(x) = \frac{(3x+5)'(4-x) - (3x+5)(4-x)'}{(4-x)^2} = \frac{3(4-x) - (3x+5)(-1)}{(4-x)^2}$

$f'(x) = \frac{12 - 3x - (-3x - 5)}{(4-x)^2} = \frac{12 - 3x + 3x + 5}{(4-x)^2} = \frac{17}{(4-x)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{17}{(4-x)^2}$.

3) $f(x) = \sqrt{11x - x^2}$

Решение

Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Внешняя функция $g(h) = \sqrt{h}$, ее производная $g'(h) = \frac{1}{2\sqrt{h}}$.

Внутренняя функция $h(x) = 11x - x^2$, ее производная $h'(x) = 11 - 2x$.

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{11x - x^2}} \cdot (11x - x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{11x - x^2}} \cdot (11 - 2x)$

Ответ: $f'(x) = \frac{11 - 2x}{2\sqrt{11x - x^2}}$.

4) $f(x) = (2x - x^3)\sqrt{2 - x^2}$

Решение

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и цепное правило.

Пусть $u(x) = 2x - x^3$ и $v(x) = \sqrt{2 - x^2}$.

$u'(x) = 2 - 3x^2$.

$v'(x) = (\sqrt{2 - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{2 - x^2}} \cdot (2 - x^2)' = \frac{-2x}{2\sqrt{2 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{2 - x^2}}$.

$f'(x) = u'v + uv' = (2 - 3x^2)\sqrt{2 - x^2} + (2x - x^3)\left(\frac{-x}{\sqrt{2 - x^2}}\right)$

Приведем к общему знаменателю $\sqrt{2 - x^2}$:

$f'(x) = \frac{(2 - 3x^2)(\sqrt{2 - x^2})^2 - x(2x - x^3)}{\sqrt{2 - x^2}} = \frac{(2 - 3x^2)(2 - x^2) - 2x^2 + x^4}{\sqrt{2 - x^2}}$

$f'(x) = \frac{4 - 2x^2 - 6x^2 + 3x^4 - 2x^2 + x^4}{\sqrt{2 - x^2}} = \frac{4x^4 - 10x^2 + 4}{\sqrt{2 - x^2}}$

Ответ: $f'(x) = \frac{4x^4 - 10x^2 + 4}{\sqrt{2 - x^2}}$.

5) $f(x) = 6\cos^3(4 - 3x)$

Решение

Применяем цепное правило несколько раз. Функция представляет собой композицию трех функций: $y=6u^3$, $u=\cos(v)$, $v=4-3x$.

$f'(x) = 6 \cdot (\cos^3(4 - 3x))'$

$f'(x) = 6 \cdot 3\cos^2(4 - 3x) \cdot (\cos(4 - 3x))'$

$f'(x) = 18\cos^2(4 - 3x) \cdot (-\sin(4 - 3x)) \cdot (4 - 3x)'$

$f'(x) = 18\cos^2(4 - 3x) \cdot (-\sin(4 - 3x)) \cdot (-3)$

$f'(x) = 54\cos^2(4 - 3x)\sin(4 - 3x)$

Ответ: $f'(x) = 54\cos^2(4 - 3x)\sin(4 - 3x)$.

6) $f(x) = \sin(4 - 3x)\operatorname{tg}(4 - 3x)$

Решение

Сначала упростим функцию, используя определение тангенса $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

$f(x) = \sin(4 - 3x) \cdot \frac{\sin(4 - 3x)}{\cos(4 - 3x)} = \frac{\sin^2(4 - 3x)}{\cos(4 - 3x)}$

Теперь применим правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = \sin^2(4 - 3x)$ и $v(x) = \cos(4 - 3x)$.

$u'(x) = 2\sin(4 - 3x) \cdot (\sin(4-3x))' = 2\sin(4 - 3x) \cdot \cos(4 - 3x) \cdot (4-3x)' = 2\sin(4 - 3x)\cos(4-3x)(-3) = -6\sin(4 - 3x)\cos(4 - 3x)$.

$v'(x) = -\sin(4 - 3x) \cdot (4 - 3x)' = -\sin(4 - 3x) \cdot (-3) = 3\sin(4 - 3x)$.

$f'(x) = \frac{(-6\sin(4 - 3x)\cos(4 - 3x))\cos(4 - 3x) - (\sin^2(4 - 3x))(3\sin(4 - 3x))}{\cos^2(4 - 3x)}$

$f'(x) = \frac{-6\sin(4 - 3x)\cos^2(4 - 3x) - 3\sin^3(4 - 3x)}{\cos^2(4 - 3x)}$

Вынесем за скобки $-3\sin(4 - 3x)$:

$f'(x) = \frac{-3\sin(4 - 3x)(2\cos^2(4 - 3x) + \sin^2(4 - 3x))}{\cos^2(4 - 3x)}$

Так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, то $2\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = \cos^2\alpha + 1$.

$f'(x) = \frac{-3\sin(4 - 3x)(\cos^2(4 - 3x) + 1)}{\cos^2(4 - 3x)}$

Ответ: $f'(x) = \frac{-3\sin(4 - 3x)(1 + \cos^2(4 - 3x))}{\cos^2(4 - 3x)}$.

7) $f(x) = \frac{\sin 5x}{1 + 3x}$

Решение

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = \sin 5x$ и $v(x) = 1 + 3x$.

$u'(x) = (\cos 5x) \cdot 5 = 5\cos 5x$.

$v'(x) = 3$.

$f'(x) = \frac{(5\cos 5x)(1 + 3x) - (\sin 5x)(3)}{(1 + 3x)^2} = \frac{5\cos 5x + 15x\cos 5x - 3\sin 5x}{(1 + 3x)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{5\cos 5x + 15x\cos 5x - 3\sin 5x}{(1 + 3x)^2}$.

8) $f(x) = \frac{2 - 5x}{\cos 10x}$

Решение

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 2 - 5x$ и $v(x) = \cos 10x$.

$u'(x) = -5$.

$v'(x) = (-\sin 10x) \cdot 10 = -10\sin 10x$.

$f'(x) = \frac{(-5)(\cos 10x) - (2 - 5x)(-10\sin 10x)}{(\cos 10x)^2}$

$f'(x) = \frac{-5\cos 10x + 10(2 - 5x)\sin 10x}{\cos^2 10x} = \frac{-5\cos 10x + (20 - 50x)\sin 10x}{\cos^2 10x}$

Ответ: $f'(x) = \frac{-5\cos 10x + (20 - 50x)\sin 10x}{\cos^2 10x}$.

10. Найдите значение производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = 4x^3 - x^4 + 10, x_0 = -1;$

2) $f(x) = \frac{3}{x - 1}, x_0 = 3;$

3) $f(x) = \cos^2{3x} + \operatorname{tg}{x}, x_0 = \frac{\pi}{6};$

4) $f(x) = \sqrt{5x^2 - 4}, x_0 = 2\sqrt{2}.$

1) f(x) = 4x³ - x⁴ + 10, x₀ = -1

Дано:

Функция $f(x) = 4x^3 - x^4 + 10$

Точка $x_0 = -1$

Найти:

Значение производной $f'(x_0)$.

Решение:

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правила дифференцирования степенной функции и суммы функций:

$f'(x) = (4x^3 - x^4 + 10)' = (4x^3)' - (x^4)' + (10)'$

Производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, а производная константы равна нулю.

$f'(x) = 4 \cdot 3x^{3-1} - 4x^{4-1} + 0 = 12x^2 - 4x^3$

Теперь подставим значение $x_0 = -1$ в выражение для производной:

$f'(-1) = 12(-1)^2 - 4(-1)^3 = 12 \cdot 1 - 4 \cdot (-1) = 12 + 4 = 16$

Ответ: 16

2) f(x) = 3 / (x - 1), x₀ = 3

Дано:

Функция $f(x) = \frac{3}{x - 1}$

Точка $x_0 = 3$

Найти:

Значение производной $f'(x_0)$.

Решение:

Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u = 3$ и $v = x - 1$. Тогда $u' = 0$ и $v' = 1$.

$f'(x) = \left(\frac{3}{x-1}\right)' = \frac{(3)'(x-1) - 3(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{0 \cdot (x-1) - 3 \cdot 1}{(x-1)^2} = -\frac{3}{(x-1)^2}$

Теперь подставим значение $x_0 = 3$ в выражение для производной:

$f'(3) = -\frac{3}{(3-1)^2} = -\frac{3}{2^2} = -\frac{3}{4}$

Ответ: $-\frac{3}{4}$

3) f(x) = cos²3x + tgx, x₀ = π/6

Дано:

Функция $f(x) = \cos^2(3x) + \tan(x)$

Точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$

Найти:

Значение производной $f'(x_0)$.

Решение:

Найдем производную функции $f(x)$, дифференцируя каждое слагаемое по отдельности.

Производная первого слагаемого $g(x) = \cos^2(3x)$ находится по правилу дифференцирования сложной функции:

$g'(x) = (\cos^2(3x))' = 2\cos(3x) \cdot (\cos(3x))' = 2\cos(3x) \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' = -6\sin(3x)\cos(3x)$

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, упростим выражение:

$g'(x) = -3 \cdot (2\sin(3x)\cos(3x)) = -3\sin(6x)$

Производная второго слагаемого $h(x) = \tan(x)$ является табличной:

$h'(x) = (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2(x)}$

Суммируя производные слагаемых, получаем производную исходной функции:

$f'(x) = g'(x) + h'(x) = -3\sin(6x) + \frac{1}{\cos^2(x)}$

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$f'(\frac{\pi}{6}) = -3\sin(6 \cdot \frac{\pi}{6}) + \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{6})} = -3\sin(\pi) + \frac{1}{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$

Зная, что $\sin(\pi) = 0$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{6}) = -3 \cdot 0 + \frac{1}{3/4} = 0 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

4) f(x) = √(5x² - 4), x₀ = 2√2

Дано:

Функция $f(x) = \sqrt{5x^2 - 4}$

Точка $x_0 = 2\sqrt{2}$

Найти:

Значение производной $f'(x_0)$.

Решение:

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

В нашем случае $u = 5x^2 - 4$, тогда $u' = (5x^2-4)' = 10x$.

$f'(x) = \left(\sqrt{5x^2 - 4}\right)' = \frac{(5x^2-4)'}{2\sqrt{5x^2-4}} = \frac{10x}{2\sqrt{5x^2-4}} = \frac{5x}{\sqrt{5x^2-4}}$

Теперь подставим значение $x_0 = 2\sqrt{2}$ в выражение для производной.

Сначала вычислим $x_0^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.

$f'(2\sqrt{2}) = \frac{5 \cdot (2\sqrt{2})}{\sqrt{5 \cdot (2\sqrt{2})^2 - 4}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{5 \cdot 8 - 4}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{40 - 4}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{36}}$

$f'(2\sqrt{2}) = \frac{10\sqrt{2}}{6} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $\frac{5\sqrt{2}}{3}$

11. 1) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^3 + x$ в точке с абсциссой 2.

2) На кривой $y = 3x^3 - 2$ найдите точку, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

3) Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = x^2 - 5x + 4$.

1) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^3 + x$ в точке с абсциссой 2.

Дано:
Функция $f(x) = x^3 + x$.
Абсцисса точки касания $x_0 = 2$.

Найти:
Уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Решение:
Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0 = 2$:
$f(x_0) = f(2) = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 + x)' = 3x^2 + 1$.

3. Найдем значение производной в точке касания $x_0 = 2$. Это значение равно угловому коэффициенту касательной.
$f'(x_0) = f'(2) = 3 \cdot 2^2 + 1 = 3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13$.

4. Подставим найденные значения $x_0=2$, $f(x_0)=10$ и $f'(x_0)=13$ в уравнение касательной:
$y = 10 + 13(x - 2)$.

5. Упростим уравнение:
$y = 10 + 13x - 26$
$y = 13x - 16$.

Ответ: $y = 13x - 16$.

2) На кривой $y = 3x^3 - 2$ найдите точку, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

Дано:
Функция $f(x) = 3x^3 - 2$.

Найти:
Точку $(x_0, y_0)$, в которой касательная к графику параллельна оси Ox.

Решение:
1. Касательная параллельна оси абсцисс (оси Ox), если ее угловой коэффициент равен нулю.

2. Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, $k = f'(x_0)$.

3. Таким образом, нам нужно найти точку $x_0$, в которой $f'(x_0) = 0$.

4. Найдем производную функции:
$f'(x) = (3x^3 - 2)' = 3 \cdot 3x^2 - 0 = 9x^2$.

5. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
$9x^2 = 0$
$x^2 = 0$
$x = 0$.

6. Мы нашли абсциссу точки касания: $x_0 = 0$. Теперь найдем ординату этой точки, подставив $x_0=0$ в исходное уравнение кривой:
$y_0 = f(0) = 3 \cdot 0^3 - 2 = -2$.

7. Искомая точка имеет координаты $(0; -2)$.

Ответ: $(0; -2)$.

3) Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = x^2 - 5x + 4$.

Дано:
Функция $f(x) = x^2 - 5x + 4$.

Найти:
Тангенс угла наклона касательной $\tan \alpha$.

Решение:
1. Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной в точке касания $x_0$ равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке: $\tan \alpha = f'(x_0)$.

2. В условии задачи не указана конкретная точка, в которой нужно найти тангенс угла наклона. В таких случаях, если не оговорено иное, можно найти тангенс в точке пересечения графика с осью ординат (осью Oy). Абсцисса этой точки равна нулю: $x_0 = 0$.

3. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 5x + 4)' = 2x - 5$.

4. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 2 \cdot 0 - 5 = -5$.

5. Таким образом, тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой 0 равен -5.

Ответ: -5.

12. 1) Решите уравнение $f(x) = x^2 + 3x - 40$, если $f(x) + f'(x) = 0$;

2) решите уравнение $f(x) = -x^2 - 6x - 7$, если $f(x) - f'(x) < 0$.

1)

Дано:

Функция $f(x) = x^2 + 3x - 40$.

Условие $f(x) + f'(x) = 0$.

Найти:

Значение $x$, удовлетворяющее уравнению.

Решение:

Сначала найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x^2 + 3x - 40)' = (x^2)' + (3x)' - (40)' = 2x + 3$.

Теперь подставим $f(x)$ и $f'(x)$ в данное уравнение $f(x) + f'(x) = 0$.

$(x^2 + 3x - 40) + (2x + 3) = 0$.

Упростим полученное выражение, сгруппировав подобные члены:

$x^2 + (3x + 2x) + (-40 + 3) = 0$.

$x^2 + 5x - 37 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=5$, $c=-37$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-37) = 25 + 148 = 173$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{173}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{173}}{2}$.

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{173}}{2}$

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{173}}{2}$

Ответ: $x = \frac{-5 \pm \sqrt{173}}{2}$.

2)

Дано:

Функция $f(x) = -x^2 - 6x - 7$.

Условие $f(x) - f'(x) < 0$.

Найти:

Интервалы значений $x$, удовлетворяющие неравенству.

Решение:

Сначала найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (-x^2 - 6x - 7)' = (-x^2)' - (6x)' - (7)' = -2x - 6$.

Теперь подставим $f(x)$ и $f'(x)$ в данное неравенство $f(x) - f'(x) < 0$.

$(-x^2 - 6x - 7) - (-2x - 6) < 0$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$-x^2 - 6x - 7 + 2x + 6 < 0$.

$-x^2 - 4x - 1 < 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 4x + 1 > 0$.

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 4x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

Найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.

Корни уравнения: $x_1 = -2 - \sqrt{3}$ и $x_2 = -2 + \sqrt{3}$.

Парабола $y = x^2 + 4x + 1$ имеет ветви, направленные вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, значения функции больше нуля ($>0$) находятся за пределами корней.

Таким образом, решение неравенства $x^2 + 4x + 1 > 0$ — это объединение двух интервалов: $x < -2 - \sqrt{3}$ и $x > -2 + \sqrt{3}$.

В виде интервалов это записывается как $(-\infty; -2 - \sqrt{3}) \cup (-2 + \sqrt{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{3}) \cup (-2 + \sqrt{3}; +\infty)$.

13. Найдите промежутки монотонности функции:

1) f(x) $= \frac{x}{x - 1}$;

2) f(x) $= \frac{x^2}{x + 3}$;

3) f(x) $= \frac{2x}{16 - x^2}$;

4) f(x) $= \frac{x^2 - 1}{x^2 - 9}$;

5) f(x) $= \sqrt{x} \cdot (x + 4)$;

6) f(x) $= \sqrt{x - 1} \cdot (5 - x)$.

1) f(x) = $\frac{x}{x - 1}$

Решение

Для нахождения промежутков монотонности функции найдем ее производную. Сначала определим область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$. Область определения $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = (\frac{x}{x-1})' = \frac{(x)'(x-1) - x(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{1 \cdot (x-1) - x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$. Уравнение $\frac{-1}{(x-1)^2} = 0$ не имеет решений, так как числитель равен -1.

Производная не существует в точке $x=1$, но эта точка не входит в область определения функции.

Определим знак производной на всей области определения. Знаменатель $(x-1)^2$ всегда положителен при $x \neq 1$. Числитель равен -1 (отрицателен). Следовательно, $f'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения.

Так как производная отрицательна на всей области определения, функция убывает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

2) f(x) = $\frac{x^2}{x + 3}$

Решение

Область определения функции: $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$. $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{x^2}{x+3})' = \frac{(x^2)'(x+3) - x^2(x+3)'}{(x+3)^2} = \frac{2x(x+3) - x^2 \cdot 1}{(x+3)^2} = \frac{2x^2 + 6x - x^2}{(x+3)^2} = \frac{x^2 + 6x}{(x+3)^2} = \frac{x(x+6)}{(x+3)^2}$.

Приравняем производную к нулю для нахождения стационарных точек: $f'(x)=0 \implies x(x+6)=0$. Отсюда $x_1=0$, $x_2=-6$.

Производная не определена в точке $x=-3$, которая не входит в область определения функции.

Отметим точки $x=-6$, $x=-3$, $x=0$ на числовой прямой и определим знаки производной на полученных интервалах. Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $x(x+6)$, так как знаменатель $(x+3)^2$ всегда положителен.

• При $x \in (-\infty; -6)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-6; -3)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-3; 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -6]$ и $[0; +\infty)$; функция убывает на промежутках $[-6; -3)$ и $(-3; 0]$.

3) f(x) = $\frac{2x}{16 - x^2}$

Решение

Область определения функции: $16 - x^2 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 4$. $D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; 4) \cup (4; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{2x}{16-x^2})' = \frac{(2x)'(16-x^2) - 2x(16-x^2)'}{(16-x^2)^2} = \frac{2(16-x^2) - 2x(-2x)}{(16-x^2)^2} = \frac{32 - 2x^2 + 4x^2}{(16-x^2)^2} = \frac{2x^2 + 32}{(16-x^2)^2} = \frac{2(x^2 + 16)}{(16-x^2)^2}$.

Найдем критические точки. Уравнение $f'(x)=0 \implies 2(x^2+16)=0$ не имеет действительных решений, так как $x^2+16$ всегда больше нуля.

Производная не существует в точках $x=\pm 4$, которые не входят в область определения функции.

Определим знак производной. Числитель $2(x^2+16)$ всегда положителен. Знаменатель $(16-x^2)^2$ всегда положителен для всех $x$ из области определения. Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения функции.

Таким образом, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -4)$, $(-4; 4)$ и $(4; +\infty)$.

4) f(x) = $\frac{x^2 - 1}{x^2 - 9}$

Решение

Область определения функции: $x^2 - 9 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 3$. $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{x^2-1}{x^2-9})' = \frac{(x^2-1)'(x^2-9) - (x^2-1)(x^2-9)'}{(x^2-9)^2} = \frac{2x(x^2-9) - (x^2-1)(2x)}{(x^2-9)^2} = \frac{2x^3 - 18x - 2x^3 + 2x}{(x^2-9)^2} = \frac{-16x}{(x^2-9)^2}$.

Приравняем производную к нулю: $f'(x)=0 \implies -16x=0$, откуда $x=0$.

Производная не определена в точках $x=\pm 3$, которые не входят в область определения.

Отметим точки $x=-3$, $x=0$, $x=3$ на числовой прямой. Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $-16x$, так как знаменатель $(x^2-9)^2$ всегда положителен.

• При $x \in (-\infty; -3)$: $-16x > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-3; 0)$: $-16x > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; 3)$: $-16x < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (3; +\infty)$: $-16x < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3)$ и $(-3; 0]$; функция убывает на промежутках $[0; 3)$ и $(3; +\infty)$.

5) f(x) = $\sqrt{x} \cdot (x + 4)$

Решение

Область определения функции: $x \ge 0$. $D(f) = [0; +\infty)$.

Представим функцию в виде $f(x) = x^{1/2}(x+4) = x^{3/2} + 4x^{1/2}$ и найдем производную:

$f'(x) = (x^{3/2} + 4x^{1/2})' = \frac{3}{2}x^{1/2} + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2} + \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{3x+4}{2\sqrt{x}}$.

Производная определена для $x > 0$. Найдем критические точки. Уравнение $f'(x)=0 \implies 3x+4=0$ дает $x = -4/3$, что не входит в область определения функции.

Производная не определена в точке $x=0$, которая является граничной точкой области определения.

Определим знак производной на интервале $(0; +\infty)$. Для любого $x > 0$ числитель $3x+4$ положителен, и знаменатель $2\sqrt{x}$ также положителен. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x > 0$.

Таким образом, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

6) f(x) = $\sqrt{x - 1} \cdot (5 - x)$

Решение

Область определения функции: $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. $D(f) = [1; +\infty)$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (\sqrt{x-1})'(5-x) + \sqrt{x-1}(5-x)' = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}(5-x) + \sqrt{x-1}(-1) = \frac{5-x}{2\sqrt{x-1}} - \sqrt{x-1}$.

Приведем к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{5-x - 2\sqrt{x-1}\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}} = \frac{5-x-2(x-1)}{2\sqrt{x-1}} = \frac{5-x-2x+2}{2\sqrt{x-1}} = \frac{7-3x}{2\sqrt{x-1}}$.

Приравняем производную к нулю: $f'(x)=0 \implies 7-3x=0$, откуда $x = 7/3$. Эта точка принадлежит области определения ($7/3 \approx 2.33 > 1$).

Производная не определена при $x=1$, это граничная точка области определения.

Отметим точку $x=7/3$ на области определения $[1; +\infty)$ и определим знаки производной. Знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $7-3x$.

• При $x \in (1; 7/3)$: $7-3x > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (7/3; +\infty)$: $7-3x < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1; 7/3]$; функция убывает на промежутке $[7/3; +\infty)$.

14. Найдите критические точки, промежутки убывания, точки максимума и точки минимума функции:

1) $y = 0.25x^4 - 0.25x + 9;$

2) $y = 5x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 11.$

1) $y = 0.25x^4 - 0.25x + 9$

Решение

Для исследования функции найдем ее производную, критические точки и проанализируем знаки производной.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как функция является многочленом: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции. Для удобства запишем десятичные дроби в виде обыкновенных: $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{4}x + 9$.

$y' = (\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{4}x + 9)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - \frac{1}{4} = x^3 - \frac{1}{4}$.

3. Найдем критические точки. Критические точки — это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Так как производная $y' = x^3 - \frac{1}{4}$ существует для всех $x$, найдем точки, в которых она равна нулю.

$y' = 0 \implies x^3 - \frac{1}{4} = 0$

$x^3 = \frac{1}{4}$

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$.

Таким образом, функция имеет одну критическую точку: $x = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критическая точка делит числовую ось: $(-\infty; \frac{\sqrt[3]{2}}{2})$ и $(\frac{\sqrt[3]{2}}{2}; +\infty)$.

При $x \in (-\infty; \frac{\sqrt[3]{2}}{2})$, например, при $x=0$, имеем: $y'(0) = 0^3 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4} < 0$. Значит, на этом промежутке функция убывает.

При $x \in (\frac{\sqrt[3]{2}}{2}; +\infty)$, например, при $x=1$, имеем: $y'(1) = 1^3 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0$. Значит, на этом промежутке функция возрастает.

Промежуток убывания функции: $(-\infty; \frac{\sqrt[3]{2}}{2}]$.

5. В точке $x = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. Точек максимума у функции нет.

Ответ: критическая точка: $x = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$; промежуток убывания: $(-\infty; \frac{\sqrt[3]{2}}{2}]$; точек максимума нет; точка минимума: $x_{min} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$.

2) $y = 5x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 11$

Решение

Проведем исследование функции по стандартной схеме.

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (5x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 11)' = 5 \cdot 4x^3 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = 20x^3 - x^2$.

3. Найдем критические точки. Производная $y' = 20x^3 - x^2$ существует для всех $x$. Приравняем ее к нулю:

$y' = 0 \implies 20x^3 - x^2 = 0$

$x^2(20x - 1) = 0$.

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{1}{20}$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{1}{20})$ и $(\frac{1}{20}; +\infty)$.

Знак производной $y' = x^2(20x - 1)$ определяется знаком выражения $(20x - 1)$, так как множитель $x^2$ всегда неотрицателен.

При $x \in (-\infty; 0)$, $(20x - 1) < 0$, следовательно $y' < 0$. Функция убывает.

При $x \in (0; \frac{1}{20})$, $(20x - 1) < 0$, следовательно $y' < 0$. Функция убывает.

При $x \in (\frac{1}{20}; +\infty)$, $(20x - 1) > 0$, следовательно $y' > 0$. Функция возрастает.

Поскольку функция убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[0; \frac{1}{20}]$ и непрерывна в точке $x=0$, она убывает на их объединении. Промежуток убывания функции: $(-\infty; \frac{1}{20}]$.

5. В точке $x=0$ производная не меняет свой знак (остается отрицательной), поэтому $x=0$ не является точкой экстремума.

В точке $x = \frac{1}{20}$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. Точек максимума у функции нет.

Ответ: критические точки: $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{20}$; промежуток убывания: $(-\infty; \frac{1}{20}]$; точек максимума нет; точка минимума: $x_{min} = \frac{1}{20}$.