Номер 9, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

9. Найдите производную функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 10 - 10x^7 + 2.5x^{10}$;

2) $f(x) = \frac{3x + 5}{4 - x}$;

3) $f(x) = \sqrt{11x - x^2}$;

4) $f(x) = (2x - x^3)\sqrt{2 - x^2}$;

5) $f(x) = 6\cos^3(4 - 3x)$;

6) $f(x) = \sin(4 - 3x)\operatorname{tg}(4 - 3x)$;

7) $f(x) = \frac{\sin 5x}{1 + 3x}$;

8) $f(x) = \frac{2 - 5x}{\cos 10x}$.

1) $f(x) = 10 - 10x^7 + 2,5x^{10}$

Решение

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы функций, правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и производной константы $(C)' = 0$.

$f'(x) = (10 - 10x^7 + 2,5x^{10})' = (10)' - (10x^7)' + (2,5x^{10})'$

$f'(x) = 0 - 10 \cdot 7x^{7-1} + 2,5 \cdot 10x^{10-1}$

$f'(x) = -70x^6 + 25x^9$

Ответ: $f'(x) = 25x^9 - 70x^6$.

2) $f(x) = \frac{3x + 5}{4 - x}$

Решение

Используем правило дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 3x + 5$ и $v(x) = 4 - x$.

Тогда их производные: $u'(x) = 3$ и $v'(x) = -1$.

$f'(x) = \frac{(3x+5)'(4-x) - (3x+5)(4-x)'}{(4-x)^2} = \frac{3(4-x) - (3x+5)(-1)}{(4-x)^2}$

$f'(x) = \frac{12 - 3x - (-3x - 5)}{(4-x)^2} = \frac{12 - 3x + 3x + 5}{(4-x)^2} = \frac{17}{(4-x)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{17}{(4-x)^2}$.

3) $f(x) = \sqrt{11x - x^2}$

Решение

Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Внешняя функция $g(h) = \sqrt{h}$, ее производная $g'(h) = \frac{1}{2\sqrt{h}}$.

Внутренняя функция $h(x) = 11x - x^2$, ее производная $h'(x) = 11 - 2x$.

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{11x - x^2}} \cdot (11x - x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{11x - x^2}} \cdot (11 - 2x)$

Ответ: $f'(x) = \frac{11 - 2x}{2\sqrt{11x - x^2}}$.

4) $f(x) = (2x - x^3)\sqrt{2 - x^2}$

Решение

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и цепное правило.

Пусть $u(x) = 2x - x^3$ и $v(x) = \sqrt{2 - x^2}$.

$u'(x) = 2 - 3x^2$.

$v'(x) = (\sqrt{2 - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{2 - x^2}} \cdot (2 - x^2)' = \frac{-2x}{2\sqrt{2 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{2 - x^2}}$.

$f'(x) = u'v + uv' = (2 - 3x^2)\sqrt{2 - x^2} + (2x - x^3)\left(\frac{-x}{\sqrt{2 - x^2}}\right)$

Приведем к общему знаменателю $\sqrt{2 - x^2}$:

$f'(x) = \frac{(2 - 3x^2)(\sqrt{2 - x^2})^2 - x(2x - x^3)}{\sqrt{2 - x^2}} = \frac{(2 - 3x^2)(2 - x^2) - 2x^2 + x^4}{\sqrt{2 - x^2}}$

$f'(x) = \frac{4 - 2x^2 - 6x^2 + 3x^4 - 2x^2 + x^4}{\sqrt{2 - x^2}} = \frac{4x^4 - 10x^2 + 4}{\sqrt{2 - x^2}}$

Ответ: $f'(x) = \frac{4x^4 - 10x^2 + 4}{\sqrt{2 - x^2}}$.

5) $f(x) = 6\cos^3(4 - 3x)$

Решение

Применяем цепное правило несколько раз. Функция представляет собой композицию трех функций: $y=6u^3$, $u=\cos(v)$, $v=4-3x$.

$f'(x) = 6 \cdot (\cos^3(4 - 3x))'$

$f'(x) = 6 \cdot 3\cos^2(4 - 3x) \cdot (\cos(4 - 3x))'$

$f'(x) = 18\cos^2(4 - 3x) \cdot (-\sin(4 - 3x)) \cdot (4 - 3x)'$

$f'(x) = 18\cos^2(4 - 3x) \cdot (-\sin(4 - 3x)) \cdot (-3)$

$f'(x) = 54\cos^2(4 - 3x)\sin(4 - 3x)$

Ответ: $f'(x) = 54\cos^2(4 - 3x)\sin(4 - 3x)$.

6) $f(x) = \sin(4 - 3x)\operatorname{tg}(4 - 3x)$

Решение

Сначала упростим функцию, используя определение тангенса $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

$f(x) = \sin(4 - 3x) \cdot \frac{\sin(4 - 3x)}{\cos(4 - 3x)} = \frac{\sin^2(4 - 3x)}{\cos(4 - 3x)}$

Теперь применим правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = \sin^2(4 - 3x)$ и $v(x) = \cos(4 - 3x)$.

$u'(x) = 2\sin(4 - 3x) \cdot (\sin(4-3x))' = 2\sin(4 - 3x) \cdot \cos(4 - 3x) \cdot (4-3x)' = 2\sin(4 - 3x)\cos(4-3x)(-3) = -6\sin(4 - 3x)\cos(4 - 3x)$.

$v'(x) = -\sin(4 - 3x) \cdot (4 - 3x)' = -\sin(4 - 3x) \cdot (-3) = 3\sin(4 - 3x)$.

$f'(x) = \frac{(-6\sin(4 - 3x)\cos(4 - 3x))\cos(4 - 3x) - (\sin^2(4 - 3x))(3\sin(4 - 3x))}{\cos^2(4 - 3x)}$

$f'(x) = \frac{-6\sin(4 - 3x)\cos^2(4 - 3x) - 3\sin^3(4 - 3x)}{\cos^2(4 - 3x)}$

Вынесем за скобки $-3\sin(4 - 3x)$:

$f'(x) = \frac{-3\sin(4 - 3x)(2\cos^2(4 - 3x) + \sin^2(4 - 3x))}{\cos^2(4 - 3x)}$

Так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, то $2\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = \cos^2\alpha + 1$.

$f'(x) = \frac{-3\sin(4 - 3x)(\cos^2(4 - 3x) + 1)}{\cos^2(4 - 3x)}$

Ответ: $f'(x) = \frac{-3\sin(4 - 3x)(1 + \cos^2(4 - 3x))}{\cos^2(4 - 3x)}$.

7) $f(x) = \frac{\sin 5x}{1 + 3x}$

Решение

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = \sin 5x$ и $v(x) = 1 + 3x$.

$u'(x) = (\cos 5x) \cdot 5 = 5\cos 5x$.

$v'(x) = 3$.

$f'(x) = \frac{(5\cos 5x)(1 + 3x) - (\sin 5x)(3)}{(1 + 3x)^2} = \frac{5\cos 5x + 15x\cos 5x - 3\sin 5x}{(1 + 3x)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{5\cos 5x + 15x\cos 5x - 3\sin 5x}{(1 + 3x)^2}$.

8) $f(x) = \frac{2 - 5x}{\cos 10x}$

Решение

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 2 - 5x$ и $v(x) = \cos 10x$.

$u'(x) = -5$.

$v'(x) = (-\sin 10x) \cdot 10 = -10\sin 10x$.

$f'(x) = \frac{(-5)(\cos 10x) - (2 - 5x)(-10\sin 10x)}{(\cos 10x)^2}$

$f'(x) = \frac{-5\cos 10x + 10(2 - 5x)\sin 10x}{\cos^2 10x} = \frac{-5\cos 10x + (20 - 50x)\sin 10x}{\cos^2 10x}$

Ответ: $f'(x) = \frac{-5\cos 10x + (20 - 50x)\sin 10x}{\cos^2 10x}$.