Номер 15, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

15. Найдите экстремумы функции:

1) $y = 5x^2 + 3x - 2;$

2) $y = 4x^3 - 3x + 1;$

3) $y = \frac{1}{x^2 + 2};$

4) $y = \frac{3}{x^2 + x}.$

1) $y = 5x^2 + 3x - 2$

Решение
Для нахождения экстремумов функции, найдем ее производную, приравняем ее к нулю для определения критических точек, а затем исследуем знак производной в окрестности этих точек.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Находим производную функции:
$y' = (5x^2 + 3x - 2)' = 10x + 3$.
3. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$10x + 3 = 0$
$x = -\frac{3}{10} = -0.3$.
4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка разбивает числовую ось.
Для $x < -0.3$, производная $y' < 0$ (например, $y'(-1) = -7$), следовательно, функция убывает.
Для $x > -0.3$, производная $y' > 0$ (например, $y'(0) = 3$), следовательно, функция возрастает.
Поскольку в точке $x = -0.3$ производная меняет знак с «−» на «+», эта точка является точкой минимума.
5. Вычисляем значение функции в точке минимума (экстремум):
$y_{min} = y(-0.3) = 5(-0.3)^2 + 3(-0.3) - 2 = 5(0.09) - 0.9 - 2 = 0.45 - 2.9 = -2.45$.
Ответ: минимум функции $y_{min} = -2.45$ в точке $x = -0.3$.

2) $y = 4x^3 - 3x + 1$

Решение
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Находим производную функции:
$y' = (4x^3 - 3x + 1)' = 12x^2 - 3$.
3. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$12x^2 - 3 = 0$
$12x^2 = 3$
$x^2 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
$x_1 = -\frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{1}{2}$.
4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1/2)$, $(-1/2; 1/2)$ и $(1/2; +\infty)$.
Для $x < -1/2$ (например, $x = -1$), $y'(-1) = 12(-1)^2 - 3 = 9 > 0$, функция возрастает.
Для $-1/2 < x < 1/2$ (например, $x = 0$), $y'(0) = 12(0)^2 - 3 = -3 < 0$, функция убывает.
Для $x > 1/2$ (например, $x = 1$), $y'(1) = 12(1)^2 - 3 = 9 > 0$, функция возрастает.
В точке $x = -1/2$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума.
В точке $x = 1/2$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума.
5. Вычисляем значения функции в точках экстремума:
$y_{max} = y(-1/2) = 4(-\frac{1}{2})^3 - 3(-\frac{1}{2}) + 1 = 4(-\frac{1}{8}) + \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1 = 1 + 1 = 2$.
$y_{min} = y(1/2) = 4(\frac{1}{2})^3 - 3(\frac{1}{2}) + 1 = 4(\frac{1}{8}) - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 = -1 + 1 = 0$.
Ответ: максимум функции $y_{max} = 2$ в точке $x = -1/2$; минимум функции $y_{min} = 0$ в точке $x = 1/2$.

3) $y = \frac{1}{x^2 + 2}$

Решение
1. Область определения функции: знаменатель $x^2 + 2$ всегда больше нуля ($x^2 \ge 0 \implies x^2 + 2 \ge 2$), поэтому функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Находим производную функции по правилу дифференцирования частного:
$y' = \left(\frac{1}{x^2 + 2}\right)' = \frac{(1)'(x^2 + 2) - 1(x^2 + 2)'}{(x^2 + 2)^2} = \frac{0 \cdot (x^2 + 2) - 2x}{(x^2 + 2)^2} = -\frac{2x}{(x^2 + 2)^2}$.
3. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$-\frac{2x}{(x^2 + 2)^2} = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$.
4. Исследуем знак производной. Знаменатель $(x^2 + 2)^2$ всегда положителен, поэтому знак производной определяется знаком числителя $-2x$.
Для $x < 0$, $-2x > 0$, значит $y' > 0$, функция возрастает.
Для $x > 0$, $-2x < 0$, значит $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.
5. Вычисляем значение функции в точке максимума:
$y_{max} = y(0) = \frac{1}{0^2 + 2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: максимум функции $y_{max} = 1/2$ в точке $x = 0$.

4) $y = \frac{3}{x^2 + x}$

Решение
1. Область определения функции: находим значения $x$, при которых знаменатель равен нулю.
$x^2 + x = 0 \implies x(x+1) = 0 \implies x=0$ или $x=-1$.
Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Находим производную функции:
$y' = \left(\frac{3}{x^2 + x}\right)' = \frac{(3)'(x^2 + x) - 3(x^2 + x)'}{(x^2 + x)^2} = \frac{0 - 3(2x + 1)}{(x^2 + x)^2} = -\frac{3(2x + 1)}{(x^2 + x)^2}$.
3. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$-\frac{3(2x + 1)}{(x^2 + x)^2} = 0 \implies -3(2x+1) = 0 \implies 2x+1 = 0 \implies x = -1/2$.
Эта точка принадлежит области определения функции.
4. Исследуем знак производной. Знаменатель $(x^2 + x)^2$ положителен в области определения. Знак производной зависит от знака выражения $-3(2x+1)$.
На интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; -1/2)$, выражение $2x+1 < 0$, поэтому $-3(2x+1) > 0$, и $y' > 0$ (функция возрастает).
На интервалах $(-1/2; 0)$ и $(0; +\infty)$, выражение $2x+1 > 0$, поэтому $-3(2x+1) < 0$, и $y' < 0$ (функция убывает).
В точке $x = -1/2$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума.
5. Вычисляем значение функции в точке максимума:
$y_{max} = y(-1/2) = \frac{3}{(-1/2)^2 + (-1/2)} = \frac{3}{1/4 - 1/2} = \frac{3}{-1/4} = -12$.
Ответ: локальный максимум функции $y_{max} = -12$ в точке $x = -1/2$.