Номер 14, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

14. Найдите критические точки, промежутки убывания, точки максимума и точки минимума функции:

1) $y = 0.25x^4 - 0.25x + 9;$

2) $y = 5x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 11.$

1) $y = 0.25x^4 - 0.25x + 9$

Решение

Для исследования функции найдем ее производную, критические точки и проанализируем знаки производной.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как функция является многочленом: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции. Для удобства запишем десятичные дроби в виде обыкновенных: $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{4}x + 9$.

$y' = (\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{4}x + 9)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - \frac{1}{4} = x^3 - \frac{1}{4}$.

3. Найдем критические точки. Критические точки — это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Так как производная $y' = x^3 - \frac{1}{4}$ существует для всех $x$, найдем точки, в которых она равна нулю.

$y' = 0 \implies x^3 - \frac{1}{4} = 0$

$x^3 = \frac{1}{4}$

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$.

Таким образом, функция имеет одну критическую точку: $x = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критическая точка делит числовую ось: $(-\infty; \frac{\sqrt[3]{2}}{2})$ и $(\frac{\sqrt[3]{2}}{2}; +\infty)$.

При $x \in (-\infty; \frac{\sqrt[3]{2}}{2})$, например, при $x=0$, имеем: $y'(0) = 0^3 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4} < 0$. Значит, на этом промежутке функция убывает.

При $x \in (\frac{\sqrt[3]{2}}{2}; +\infty)$, например, при $x=1$, имеем: $y'(1) = 1^3 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0$. Значит, на этом промежутке функция возрастает.

Промежуток убывания функции: $(-\infty; \frac{\sqrt[3]{2}}{2}]$.

5. В точке $x = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. Точек максимума у функции нет.

Ответ: критическая точка: $x = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$; промежуток убывания: $(-\infty; \frac{\sqrt[3]{2}}{2}]$; точек максимума нет; точка минимума: $x_{min} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$.

2) $y = 5x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 11$

Решение

Проведем исследование функции по стандартной схеме.

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (5x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 11)' = 5 \cdot 4x^3 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = 20x^3 - x^2$.

3. Найдем критические точки. Производная $y' = 20x^3 - x^2$ существует для всех $x$. Приравняем ее к нулю:

$y' = 0 \implies 20x^3 - x^2 = 0$

$x^2(20x - 1) = 0$.

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{1}{20}$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{1}{20})$ и $(\frac{1}{20}; +\infty)$.

Знак производной $y' = x^2(20x - 1)$ определяется знаком выражения $(20x - 1)$, так как множитель $x^2$ всегда неотрицателен.

При $x \in (-\infty; 0)$, $(20x - 1) < 0$, следовательно $y' < 0$. Функция убывает.

При $x \in (0; \frac{1}{20})$, $(20x - 1) < 0$, следовательно $y' < 0$. Функция убывает.

При $x \in (\frac{1}{20}; +\infty)$, $(20x - 1) > 0$, следовательно $y' > 0$. Функция возрастает.

Поскольку функция убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[0; \frac{1}{20}]$ и непрерывна в точке $x=0$, она убывает на их объединении. Промежуток убывания функции: $(-\infty; \frac{1}{20}]$.

5. В точке $x=0$ производная не меняет свой знак (остается отрицательной), поэтому $x=0$ не является точкой экстремума.

В точке $x = \frac{1}{20}$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. Точек максимума у функции нет.

Ответ: критические точки: $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{20}$; промежуток убывания: $(-\infty; \frac{1}{20}]$; точек максимума нет; точка минимума: $x_{min} = \frac{1}{20}$.