Номер 2, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

2. 1)

$F(x) = 3\sin x + \frac{2}{x}$, $f(x) = 3\cos x - \frac{2}{x^2}$, $x \in (-\infty; 0)$

2)

$F(x) = 2\cos x - \frac{3}{x}$, $f(x) = -2\sin x + \frac{3}{x^2}$, $x \in (0; +\infty)$

1)

Дано:
Функция $F(x) = 3\sin x + \frac{2}{x}$
Функция $f(x) = 3\cos x - \frac{2}{x^2}$
Интервал $x \in (-\infty; 0)$

Найти:
Проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном интервале.

Решение:
По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.
Найдем производную функции $F(x)$. Для удобства вычислений представим функцию $F(x)$ в виде $F(x) = 3\sin x + 2x^{-1}$.
Используя правила дифференцирования (производная суммы, производная степенной функции и производная синуса), получаем:
$F'(x) = (3\sin x + 2x^{-1})' = (3\sin x)' + (2x^{-1})' = 3(\sin x)' + 2(x^{-1})' = 3\cos x + 2 \cdot (-1)x^{-1-1} = 3\cos x - 2x^{-2} = 3\cos x - \frac{2}{x^2}$.
Теперь сравним полученную производную $F'(x)$ с данной функцией $f(x)$:
$F'(x) = 3\cos x - \frac{2}{x^2}$
$f(x) = 3\cos x - \frac{2}{x^2}$
Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ на интервале $(-\infty; 0)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на этом интервале.
Ответ: Да, является.

2)

Дано:
Функция $F(x) = 2\cos x - \frac{3}{x}$
Функция $f(x) = -2\sin x + \frac{3}{x^2}$
Интервал $x \in (0; +\infty)$

Найти:
Проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном интервале.

Решение:
Аналогично предыдущему пункту, чтобы проверить, является ли $F(x)$ первообразной для $f(x)$, необходимо найти производную $F'(x)$ и сравнить ее с $f(x)$.
Представим функцию $F(x)$ в виде $F(x) = 2\cos x - 3x^{-1}$.
Найдем ее производную, используя правила дифференцирования (производная разности, производная степенной функции и производная косинуса):
$F'(x) = (2\cos x - 3x^{-1})' = (2\cos x)' - (3x^{-1})' = 2(\cos x)' - 3(x^{-1})' = 2(-\sin x) - 3(-1)x^{-1-1} = -2\sin x + 3x^{-2} = -2\sin x + \frac{3}{x^2}$.
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = -2\sin x + \frac{3}{x^2}$
$f(x) = -2\sin x + \frac{3}{x^2}$
Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ на интервале $(0; +\infty)$, следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на этом интервале.
Ответ: Да, является.