Страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Сколько функций рассматривается для введения определения первообразной? Каким условиям должны удовлетворять эти функции?

2. Как можно определить различие двух первообразных одной функции?

3. Имеется ли различие между нахождением первообразной и действием интегрирования?

4. Назовите формулу, связывающую общий вид первообразной и неопределенный интеграл.

5. Какие правила используются для нахождения первообразной функции $f(x) = 3(2x - 3) + \cos2x - 5$?

1. Сколько функций рассматривается для введения определения первообразной? Каким условиям должны удовлетворять эти функции?

Для введения определения первообразной рассматриваются две функции, которые условно обозначают как $f(x)$ и $F(x)$.
Эти функции должны удовлетворять следующему условию: функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке $I$, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство:
$F'(x) = f(x)$.
Таким образом, основное условие заключается в том, что функция $F(x)$ должна быть дифференцируемой на промежутке $I$, и ее производная должна быть равна функции $f(x)$ в каждой точке этого промежутка.
Ответ: Рассматриваются две функции, $F(x)$ и $f(x)$. Основное условие: производная функции $F(x)$ должна быть равна функции $f(x)$ на заданном промежутке, то есть $F'(x) = f(x)$.

2. Как можно определить различие двух первообразных одной функции?

Различие между двумя любыми первообразными одной и той же функции на заданном промежутке является постоянной величиной (константой).
Если $F_1(x)$ и $F_2(x)$ — две различные первообразные для функции $f(x)$ на промежутке $I$, то для любой точки $x$ из этого промежутка выполняются равенства $F_1'(x) = f(x)$ и $F_2'(x) = f(x)$.
Рассмотрим их разность $\Phi(x) = F_1(x) - F_2(x)$. Производная этой разности равна:
$\Phi'(x) = (F_1(x) - F_2(x))' = F_1'(x) - F_2'(x) = f(x) - f(x) = 0$.
Поскольку производная функции $\Phi(x)$ равна нулю на всем промежутке $I$, то сама функция является константой на этом промежутке, то есть $\Phi(x) = C$, где $C$ — некоторое число.
Следовательно, $F_1(x) - F_2(x) = C$, или $F_1(x) = F_2(x) + C$.
Ответ: Различие двух первообразных одной функции есть постоянная величина (константа).

3. Имеется ли различие между нахождением первообразной и действием интегрирования?

Да, различие имеется, хотя эти понятия тесно связаны.
Нахождение первообразной — это процесс нахождения одной какой-либо функции $F(x)$, производная которой равна данной функции $f(x)$.
Действие интегрирования (в контексте неопределенного интеграла) — это операция нахождения множества всех первообразных для данной функции $f(x)$. Результатом интегрирования является общий вид первообразной, который записывается как $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).
Таким образом, интегрирование — это более общая операция, результатом которой является целое семейство функций, в то время как нахождение первообразной — это нахождение одного конкретного представителя этого семейства.
Ответ: Да, нахождение первообразной означает поиск одной функции, а интегрирование — поиск совокупности всех первообразных, отличающихся на константу.

4. Назовите формулу, связывающую общий вид первообразной и неопределенный интеграл.

Общий вид всех первообразных для функции $f(x)$ на некотором промежутке выражается как $F(x) + C$, где $F(x)$ — одна из первообразных, а $C$ — произвольная постоянная.
Совокупность всех первообразных для функции $f(x)$ называется неопределенным интегралом и обозначается символом $\int f(x) dx$.
Формула, связывающая эти понятия, выглядит следующим образом:
$\int f(x) dx = F(x) + C$.
Эта формула показывает, что неопределенный интеграл от функции $f(x)$ равен общему виду ее первообразной.
Ответ: $\int f(x) dx = F(x) + C$, где $F'(x) = f(x)$.

5. Какие правила используются для нахождения первообразной функции $f(x) = 3(2x - 3) + \cos(2x) - 5$?

Для нахождения первообразной данной функции сначала необходимо ее упростить, а затем применить основные правила интегрирования.

Дано:
Функция $f(x) = 3(2x - 3) + \cos(2x) - 5$.

Найти:
Общий вид первообразной $F(x)$ и перечислить правила, использованные для ее нахождения.

Решение:
1. Упрощение функции:
$f(x) = 3 \cdot 2x - 3 \cdot 3 + \cos(2x) - 5 = 6x - 9 + \cos(2x) - 5 = 6x + \cos(2x) - 14$.
2. Нахождение первообразной (интегрирование):
$F(x) = \int (6x + \cos(2x) - 14) dx$.
В процессе вычисления используются следующие правила:
- Правило интегрирования суммы и разности: Интеграл от суммы/разности равен сумме/разности интегралов.
$F(x) = \int 6x dx + \int \cos(2x) dx - \int 14 dx$.
- Правило вынесения постоянного множителя:
$F(x) = 6 \int x dx + \int \cos(2x) dx - 14 \int 1 dx$.
- Табличные интегралы и формулы:
а) Для степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. В нашем случае $\int x^1 dx = \frac{x^2}{2}$.
б) Для сложной функции вида $g(kx+b)$: $\int g(kx+b) dx = \frac{1}{k}G(kx+b) + C$, где $G$ - первообразная для $g$. В нашем случае $\int \cos(2x) dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$.
в) Для константы: $\int 1 dx = x + C$.
3. Сборка результата:
$F(x) = 6 \cdot \left(\frac{x^2}{2}\right) + \frac{1}{2}\sin(2x) - 14x + C$.
$F(x) = 3x^2 + \frac{1}{2}\sin(2x) - 14x + C$.
Ответ: Для нахождения первообразной используются: 1) правило интегрирования суммы и разности; 2) правило вынесения постоянного множителя за знак интеграла; 3) формулы для первообразных степенной функции ($\int x^n dx$), константы ($\int k dx$) и сложной функции ($\int \cos(kx) dx$). Общий вид первообразной: $F(x) = 3x^2 + \frac{1}{2}\sin(2x) - 14x + C$.

Является ли функция $F(x)$ первообразной функции $f(x)$ на указанном промежутке (1–4):

1) $F(x) = 2x^2 + x + 1$, $f(x) = 4x + 1$, $x \in R$;

2) $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + x + 1$, $f(x) = x + 1$, $x \in R$.

Чтобы определить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с функцией $f(x)$. Если $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из указанного промежутка, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

1)

Дано:

$F(x) = 2x^2 + x + 1$

$f(x) = 4x + 1$

Промежуток: $x \in \mathbb{R}$

Найти:

Является ли $F(x)$ первообразной для $f(x)$.

Решение:

Найдем производную функции $F(x)$ по правилам дифференцирования:

$F'(x) = (2x^2 + x + 1)' = (2x^2)' + (x)' + (1)'$

Используя правило производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю, получаем:

$F'(x) = 2 \cdot 2x^{2-1} + 1 \cdot x^{1-1} + 0 = 4x^1 + 1 \cdot x^0 = 4x + 1$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = 4x + 1$

$f(x) = 4x + 1$

Так как $F'(x) = f(x)$ на всей числовой прямой ($\mathbb{R}$), то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Ответ: Да, является.

2)

Дано:

$F(x) = \frac{1}{2}x^2 + x + 1$

$f(x) = x + 1$

Промежуток: $x \in \mathbb{R}$

Найти:

Является ли $F(x)$ первообразной для $f(x)$.

Решение:

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\frac{1}{2}x^2 + x + 1)' = (\frac{1}{2}x^2)' + (x)' + (1)'$

Применяя те же правила дифференцирования:

$F'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} + 1 \cdot x^{1-1} + 0 = 1 \cdot x^1 + 1 \cdot x^0 = x + 1$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = x + 1$

$f(x) = x + 1$

Поскольку $F'(x) = f(x)$ на всей числовой прямой ($\mathbb{R}$), то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Ответ: Да, является.

2. 1)

$F(x) = 3\sin x + \frac{2}{x}$, $f(x) = 3\cos x - \frac{2}{x^2}$, $x \in (-\infty; 0)$

2)

$F(x) = 2\cos x - \frac{3}{x}$, $f(x) = -2\sin x + \frac{3}{x^2}$, $x \in (0; +\infty)$

1)

Дано:
Функция $F(x) = 3\sin x + \frac{2}{x}$
Функция $f(x) = 3\cos x - \frac{2}{x^2}$
Интервал $x \in (-\infty; 0)$

Найти:
Проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном интервале.

Решение:
По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.
Найдем производную функции $F(x)$. Для удобства вычислений представим функцию $F(x)$ в виде $F(x) = 3\sin x + 2x^{-1}$.
Используя правила дифференцирования (производная суммы, производная степенной функции и производная синуса), получаем:
$F'(x) = (3\sin x + 2x^{-1})' = (3\sin x)' + (2x^{-1})' = 3(\sin x)' + 2(x^{-1})' = 3\cos x + 2 \cdot (-1)x^{-1-1} = 3\cos x - 2x^{-2} = 3\cos x - \frac{2}{x^2}$.
Теперь сравним полученную производную $F'(x)$ с данной функцией $f(x)$:
$F'(x) = 3\cos x - \frac{2}{x^2}$
$f(x) = 3\cos x - \frac{2}{x^2}$
Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ на интервале $(-\infty; 0)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на этом интервале.
Ответ: Да, является.

2)

Дано:
Функция $F(x) = 2\cos x - \frac{3}{x}$
Функция $f(x) = -2\sin x + \frac{3}{x^2}$
Интервал $x \in (0; +\infty)$

Найти:
Проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном интервале.

Решение:
Аналогично предыдущему пункту, чтобы проверить, является ли $F(x)$ первообразной для $f(x)$, необходимо найти производную $F'(x)$ и сравнить ее с $f(x)$.
Представим функцию $F(x)$ в виде $F(x) = 2\cos x - 3x^{-1}$.
Найдем ее производную, используя правила дифференцирования (производная разности, производная степенной функции и производная косинуса):
$F'(x) = (2\cos x - 3x^{-1})' = (2\cos x)' - (3x^{-1})' = 2(\cos x)' - 3(x^{-1})' = 2(-\sin x) - 3(-1)x^{-1-1} = -2\sin x + 3x^{-2} = -2\sin x + \frac{3}{x^2}$.
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = -2\sin x + \frac{3}{x^2}$
$f(x) = -2\sin x + \frac{3}{x^2}$
Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ на интервале $(0; +\infty)$, следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на этом интервале.
Ответ: Да, является.

3. 1) $F(x) = \sqrt{x+1}$, $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $x \in (0; +\infty)$;

2) $F(x) = 3 - 2\sqrt{x}$, $f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}}$, $x \in (0; +\infty)$.

1) Дано:
Функция $F(x) = \sqrt{x} + 1$
Функция $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Промежуток $x \in (0; +\infty)$
Найти:
Проверить, является ли $F(x)$ первообразной для $f(x)$ на заданном промежутке.
Решение:
По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.
Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю.
$F'(x) = (\sqrt{x} + 1)' = (x^{\frac{1}{2}} + 1)' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 0 = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ и $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in (0; +\infty)$, то функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на данном промежутке.
Ответ: Да, является.

2) Дано:
Функция $F(x) = 3 - 2\sqrt{x}$
Функция $f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}}$
Промежуток $x \in (0; +\infty)$
Найти:
Проверить, является ли $F(x)$ первообразной для $f(x)$ на заданном промежутке.
Решение:
По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.
Найдем производную функции $F(x)$.
$F'(x) = (3 - 2\sqrt{x})' = (3)' - (2x^{\frac{1}{2}})' = 0 - 2 \cdot (\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}) = -x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{x}}$.
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ и $f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}}$.
Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in (0; +\infty)$, то функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на данном промежутке.
Ответ: Да, является.

4.

1) $F(x) = 3\operatorname{tg}x$, $f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$, $x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$;

2) $F(x) = 5\operatorname{ctg}x$, $f(x) = -\frac{5}{\sin^2 x}$, $x \in (0; \pi)?$

1)

Решение

Чтобы проверить, является ли функция $F(x) = 3\text{tg}x$ первообразной для функции $f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$ на интервале $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$ для всех $x$ из данного интервала.

По определению, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, если $F'(x) = f(x)$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (3\text{tg}x)'$

Используя правило вынесения постоянного множителя за знак производной и табличную производную тангенса $(\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, получаем:

$F'(x) = 3 \cdot (\text{tg}x)' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{3}{\cos^2 x}$

Теперь сравним полученный результат с функцией $f(x)$:

$F'(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$

$f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$

Так как $F'(x) = f(x)$, и это равенство выполняется для всех $x$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ (на этом интервале $\cos x \neq 0$), то функция $F(x)$ действительно является первообразной для функции $f(x)$ на заданном интервале.

Ответ: Да, является.

2)

Решение

Аналогично, чтобы проверить, является ли функция $F(x) = 5\text{ctg}x$ первообразной для функции $f(x) = -\frac{5}{\sin^2 x}$ на интервале $x \in (0; \pi)$, необходимо найти производную $F'(x)$ и сравнить ее с $f(x)$ на этом интервале.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (5\text{ctg}x)'$

Используя правило вынесения постоянного множителя за знак производной и табличную производную котангенса $(\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$, получаем:

$F'(x) = 5 \cdot (\text{ctg}x)' = 5 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{5}{\sin^2 x}$

Теперь сравним полученный результат с функцией $f(x)$:

$F'(x) = -\frac{5}{\sin^2 x}$

$f(x) = -\frac{5}{\sin^2 x}$

Так как $F'(x) = f(x)$, и это равенство выполняется для всех $x$ из интервала $(0; \pi)$ (на этом интервале $\sin x \neq 0$), то функция $F(x)$ действительно является первообразной для функции $f(x)$ на заданном интервале.

Ответ: Да, является.