Страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Выясните, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на указанном промежутке (14–16):

14. 1) $F(x) = x\sin x, f(x) = \sin x + x\cos x, x \in R;$

2) $F(x) = x\cos x, f(x) = \cos x - x\sin x, x \in R;$

3) $F(x) = 2\sin 6x, f(x) = 12\cos 6x, x \in R;$

4) $F(x) = -5\cos \frac{x}{5}, f(x) = \sin \frac{x}{5}, x \in R;$

5) $F(x) = 2\cos 2x - \sin 4x, f(x) = -4(\sin 2x + \cos 4x), x \in R;$

6) $F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x + \frac{1}{4}\cos 8x, f(x) = \cos 3x - 2\sin 8x, x \in R.$

Функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Чтобы это проверить, для каждого пункта найдем производную функции $F(x)$ и сравним ее с $f(x)$.

1) $F(x) = x \sin x$, $f(x) = \sin x + x \cos x$, $x \in R$

Найдем производную $F(x)$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$F'(x) = (x \sin x)' = (x)' \sin x + x (\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$.

Сравнивая результат с $f(x)$, получаем: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: да, является.

2) $F(x) = x \cos x$, $f(x) = \cos x - x \sin x$, $x \in R$

Найдем производную $F(x)$, используя правило дифференцирования произведения:

$F'(x) = (x \cos x)' = (x)' \cos x + x (\cos x)' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x$.

Сравнивая результат с $f(x)$, получаем: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: да, является.

3) $F(x) = 2 \sin 6x$, $f(x) = 12 \cos 6x$, $x \in R$

Найдем производную $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = (2 \sin 6x)' = 2 \cdot (\sin 6x)' = 2 \cdot \cos(6x) \cdot (6x)' = 2 \cdot \cos(6x) \cdot 6 = 12 \cos 6x$.

Сравнивая результат с $f(x)$, получаем: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: да, является.

4) $F(x) = -5 \cos \frac{x}{5}$, $f(x) = \sin \frac{x}{5}$, $x \in R$

Найдем производную $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = \left(-5 \cos \frac{x}{5}\right)' = -5 \cdot \left(-\sin \frac{x}{5}\right) \cdot \left(\frac{x}{5}\right)' = 5 \sin \frac{x}{5} \cdot \frac{1}{5} = \sin \frac{x}{5}$.

Сравнивая результат с $f(x)$, получаем: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: да, является.

5) $F(x) = 2 \cos 2x - \sin 4x$, $f(x) = -4(\sin 2x + \cos 4x)$, $x \in R$

Найдем производную $F(x)$, дифференцируя каждое слагаемое:

$F'(x) = (2 \cos 2x - \sin 4x)' = (2 \cos 2x)' - (\sin 4x)' = 2(-\sin 2x) \cdot (2x)' - \cos(4x) \cdot (4x)'$

$= -2 \sin(2x) \cdot 2 - \cos(4x) \cdot 4 = -4 \sin 2x - 4 \cos 4x = -4(\sin 2x + \cos 4x)$.

Сравнивая результат с $f(x)$, получаем: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: да, является.

6) $F(x) = \frac{1}{3} \sin 3x + \frac{1}{4} \cos 8x$, $f(x) = \cos 3x - 2 \sin 8x$, $x \in R$

Найдем производную $F(x)$, дифференцируя каждое слагаемое:

$F'(x) = \left(\frac{1}{3} \sin 3x + \frac{1}{4} \cos 8x\right)' = \left(\frac{1}{3} \sin 3x\right)' + \left(\frac{1}{4} \cos 8x\right)'$

$= \frac{1}{3} \cos(3x) \cdot (3x)' + \frac{1}{4}(-\sin 8x) \cdot (8x)' = \frac{1}{3} \cos(3x) \cdot 3 - \frac{1}{4} \sin(8x) \cdot 8 = \cos 3x - 2 \sin 8x$.

Сравнивая результат с $f(x)$, получаем: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: да, является.

15. 1)

$F(x) = \frac{3}{x^2} + 2x$, $f(x) = 2 - \frac{6}{x^3}, x \in (0; +\infty)$;

2)

$F(x) = 3x - \frac{2}{x^3}$, $f(x) = 3 + \frac{6}{x^4}, x \in (0; +\infty)$.

1)

Дано:

Функция $F(x) = \frac{3}{x^2} + 2x$

Функция $f(x) = 2 - \frac{6}{x^3}$

Промежуток $x \in (0; +\infty)$

Найти:

Проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

Решение:

Функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Найдем производную функции $F(x)$. Для этого представим ее в виде степенных функций:

$F(x) = 3x^{-2} + 2x$

Применим правила дифференцирования (производная суммы и производная степенной функции):

$F'(x) = (3x^{-2} + 2x)' = (3x^{-2})' + (2x)'$

$F'(x) = 3 \cdot (-2)x^{-2-1} + 2 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = -6x^{-3} + 2x^0$

Поскольку $x^0 = 1$ (для $x \ne 0$), получаем:

$F'(x) = -6x^{-3} + 2 = 2 - \frac{6}{x^3}$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с данной функцией $f(x)$:

$F'(x) = 2 - \frac{6}{x^3}$

$f(x) = 2 - \frac{6}{x^3}$

Так как $F'(x) = f(x)$ на всем промежутке $(0; +\infty)$, то функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: Да, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $(0; +\infty)$.

2)

Дано:

Функция $F(x) = 3x - \frac{2}{x^3}$

Функция $f(x) = 3 + \frac{6}{x^4}$

Промежуток $x \in (0; +\infty)$

Найти:

Проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

Решение:

Функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Найдем производную функции $F(x)$. Для этого представим ее в виде степенных функций:

$F(x) = 3x - 2x^{-3}$

Применим правила дифференцирования:

$F'(x) = (3x - 2x^{-3})' = (3x)' - (2x^{-3})'$

$F'(x) = 3 \cdot 1 \cdot x^{1-1} - 2 \cdot (-3)x^{-3-1} = 3x^0 + 6x^{-4}$

Поскольку $x^0 = 1$ (для $x \ne 0$), получаем:

$F'(x) = 3 + 6x^{-4} = 3 + \frac{6}{x^4}$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с данной функцией $f(x)$:

$F'(x) = 3 + \frac{6}{x^4}$

$f(x) = 3 + \frac{6}{x^4}$

Так как $F'(x) = f(x)$ на всем промежутке $(0; +\infty)$, то функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: Да, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $(0; +\infty)$.

16. 1)

$F(x) = \sqrt{4x-5}$, $f(x) = \frac{2}{\sqrt{4x-5}}$, $x \in \left(\frac{3}{2}; +\infty\right)$;

2)

$F(x) = \sqrt{5-4x}$, $f(x) = -\frac{2}{\sqrt{5-4x}}$, $x \in \left(-\infty; \frac{5}{4}\right)$.

1) $F(x) = \sqrt{4x-5}$, $f(x) = \frac{2}{\sqrt{4x-5}}$, $x \in (\frac{3}{2}; +\infty)$;

Решение:

Для того чтобы проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с функцией $f(x)$. Если $F'(x) = f(x)$ на этом промежутке, то утверждение верно.

Найдем производную функции $F(x) = \sqrt{4x-5}$. Запишем корень в виде степени: $F(x) = (4x-5)^{\frac{1}{2}}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$:

$F'(x) = \left((4x-5)^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{1}{2}(4x-5)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (4x-5)'$

$F'(x) = \frac{1}{2}(4x-5)^{-\frac{1}{2}} \cdot 4 = 2(4x-5)^{-\frac{1}{2}} = \frac{2}{(4x-5)^{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{\sqrt{4x-5}}$

Сравним полученную производную с данной функцией $f(x)$:

$F'(x) = \frac{2}{\sqrt{4x-5}}$

$f(x) = \frac{2}{\sqrt{4x-5}}$

Так как $F'(x) = f(x)$ на всем промежутке $(\frac{3}{2}; +\infty)$, на котором обе функции определены (условие $4x-5 > 0$ дает $x > \frac{5}{4} = 1.25$, а $\frac{3}{2} = 1.5$), то функция $F(x)$ действительно является первообразной для функции $f(x)$ на указанном промежутке.

Ответ: Да, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на указанном промежутке.

2) $F(x) = \sqrt{5-4x}$, $f(x) = -\frac{2}{\sqrt{5-4x}}$, $x \in (-\infty; \frac{5}{4})$.

Решение:

Аналогично первому пункту, найдем производную функции $F(x)$ и сравним ее с $f(x)$.

Найдем производную функции $F(x) = \sqrt{5-4x}$. Запишем ее в виде $F(x) = (5-4x)^{\frac{1}{2}}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = \left((5-4x)^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{1}{2}(5-4x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (5-4x)'$

$F'(x) = \frac{1}{2}(5-4x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-4) = -2(5-4x)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{2}{(5-4x)^{\frac{1}{2}}} = -\frac{2}{\sqrt{5-4x}}$

Сравним полученную производную с данной функцией $f(x)$:

$F'(x) = -\frac{2}{\sqrt{5-4x}}$

$f(x) = -\frac{2}{\sqrt{5-4x}}$

Так как $F'(x) = f(x)$ на всем промежутке $(-\infty; \frac{5}{4})$, на котором обе функции определены (условие $5-4x > 0$ дает $x < \frac{5}{4}$), то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на указанном промежутке.

Ответ: Да, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на указанном промежутке.

Найдите неопределенный интеграл (17–18):

17.1) $\int \left(0,75x^2 + \frac{x^9}{9}\right) dx;$

2) $\int \left(\frac{x^{-7}}{6} - 1,25x^4\right) dx;$

3) $\int \left(\frac{10}{\sqrt{5+2x}} - 3x^{-11}\right) dx;$

4) $\int \left(15x^{24} - \frac{28}{\sqrt{6-7x}}\right) dx.$

1) $\int{\left(0,75x^2 + \frac{x^9}{9}\right)dx}$

Решение:
Для нахождения неопределенного интеграла воспользуемся свойством аддитивности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и вынесем постоянные множители за знак интеграла: $$ \int{\left(0,75x^2 + \frac{x^9}{9}\right)dx} = \int{0,75x^2 dx} + \int{\frac{x^9}{9}dx} = 0,75\int{x^2 dx} + \frac{1}{9}\int{x^9 dx} $$ Теперь применим табличную формулу для интегрирования степенной функции $\int{x^n dx} = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $$ 0,75 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + \frac{1}{9} \cdot \frac{x^{9+1}}{9+1} + C = 0,75 \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1}{9} \cdot \frac{x^{10}}{10} + C $$ Упростим полученное выражение: $$ 0,25x^3 + \frac{x^{10}}{90} + C $$ Можно также представить $0,75$ как $\frac{3}{4}$, тогда $0,75 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{4}$.
Ответ: $0,25x^3 + \frac{x^{10}}{90} + C$.

2) $\int{\left(\frac{x^{-7}}{6} - 1,25x^4\right)dx}$

Решение:
Используя свойство аддитивности интеграла и вынося константы, получаем: $$ \int{\left(\frac{x^{-7}}{6} - 1,25x^4\right)dx} = \int{\frac{x^{-7}}{6}dx} - \int{1,25x^4 dx} = \frac{1}{6}\int{x^{-7}dx} - 1,25\int{x^4 dx} $$ Применяем формулу для интегрирования степенной функции $\int{x^n dx} = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $$ \frac{1}{6} \cdot \frac{x^{-7+1}}{-7+1} - 1,25 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{1}{6} \cdot \frac{x^{-6}}{-6} - 1,25 \cdot \frac{x^5}{5} + C $$ Упрощаем выражение: $$ -\frac{x^{-6}}{36} - 0,25x^5 + C $$
Ответ: $-\frac{x^{-6}}{36} - 0,25x^5 + C$.

3) $\int{\left(\frac{10}{\sqrt{5+2x}} - 3x^{-11}\right)dx}$

Решение:
Разобьем интеграл на два и вынесем константы: $$ \int{\left(\frac{10}{\sqrt{5+2x}} - 3x^{-11}\right)dx} = 10\int{(5+2x)^{-\frac{1}{2}}dx} - 3\int{x^{-11}dx} $$ Первый интеграл $\int{(5+2x)^{-\frac{1}{2}}dx}$ решается методом замены переменной. Пусть $t = 5+2x$, тогда $dt = 2dx$, откуда $dx = \frac{dt}{2}$. $$ 10\int{t^{-\frac{1}{2}}\frac{dt}{2}} = 5\int{t^{-\frac{1}{2}}dt} = 5 \cdot \frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C_1 = 5 \cdot \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1 = 10t^{\frac{1}{2}} + C_1 = 10\sqrt{5+2x} + C_1 $$ Второй интеграл $\int{x^{-11}dx}$ является табличным: $$ -3\int{x^{-11}dx} = -3 \cdot \frac{x^{-11+1}}{-11+1} + C_2 = -3 \cdot \frac{x^{-10}}{-10} + C_2 = \frac{3}{10}x^{-10} + C_2 = 0,3x^{-10} + C_2 $$ Объединяя результаты, получаем: $$ 10\sqrt{5+2x} + 0,3x^{-10} + C $$ где $C = C_1 + C_2$.
Ответ: $10\sqrt{5+2x} + 0,3x^{-10} + C$.

4) $\int{\left(15x^{24} - \frac{28}{\sqrt{6-7x}}\right)dx}$

Решение:
Разобьем интеграл на два и вынесем константы: $$ \int{\left(15x^{24} - \frac{28}{\sqrt{6-7x}}\right)dx} = 15\int{x^{24}dx} - 28\int{(6-7x)^{-\frac{1}{2}}dx} $$ Первый интеграл $\int{x^{24}dx}$ является табличным: $$ 15\int{x^{24}dx} = 15 \cdot \frac{x^{24+1}}{24+1} + C_1 = 15 \cdot \frac{x^{25}}{25} + C_1 = \frac{3}{5}x^{25} + C_1 = 0,6x^{25} + C_1 $$ Второй интеграл $\int{(6-7x)^{-\frac{1}{2}}dx}$ решается методом замены переменной. Пусть $t = 6-7x$, тогда $dt = -7dx$, откуда $dx = \frac{dt}{-7}$. $$ -28\int{t^{-\frac{1}{2}}\frac{dt}{-7}} = 4\int{t^{-\frac{1}{2}}dt} = 4 \cdot \frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C_2 = 4 \cdot \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_2 = 8t^{\frac{1}{2}} + C_2 = 8\sqrt{6-7x} + C_2 $$ Объединяя результаты, получаем: $$ 0,6x^{25} + 8\sqrt{6-7x} + C $$ где $C = C_1 + C_2$.
Ответ: $0,6x^{25} + 8\sqrt{6-7x} + C$.

18.1) $\int 18 \sin 6x dx,$

2) $\int 27 \cos 9x dx,$

3) $\int \frac{15}{\cos^2 10x} dx,$

4) $\int \frac{20}{\sin^2 2,5x} dx.$

1) $\int 18 \sin 6x dx$

Решение

Для нахождения данного неопределенного интеграла воспользуемся свойствами интегралов и таблицей интегралов.

Сначала вынесем постоянный множитель 18 за знак интеграла:

$\int 18 \sin 6x dx = 18 \int \sin 6x dx$

Далее, для интегрирования функции $\sin 6x$ используем метод замены переменной. Пусть $t = 6x$. Тогда дифференциал $dt$ равен $d(6x) = 6 dx$. Отсюда $dx = \frac{dt}{6}$.

Подставим новую переменную в интеграл:

$18 \int \sin t \cdot \frac{dt}{6} = \frac{18}{6} \int \sin t dt = 3 \int \sin t dt$

По таблице интегралов, $\int \sin t dt = -\cos t + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

$3 \int \sin t dt = 3(-\cos t) + C = -3\cos t + C$

Теперь выполним обратную замену, подставив $t = 6x$:

$-3\cos(6x) + C$

Ответ: $-3\cos(6x) + C$

2) $\int 27 \cos 9x dx$

Решение

Вынесем константу 27 за знак интеграла:

$\int 27 \cos 9x dx = 27 \int \cos 9x dx$

Применим метод замены переменной. Пусть $t = 9x$, тогда $dt = 9 dx$, и $dx = \frac{dt}{9}$.

Подставляем в интеграл:

$27 \int \cos t \cdot \frac{dt}{9} = \frac{27}{9} \int \cos t dt = 3 \int \cos t dt$

Из таблицы интегралов известно, что $\int \cos t dt = \sin t + C$.

$3 \int \cos t dt = 3\sin t + C$

Выполняем обратную замену $t = 9x$:

$3\sin(9x) + C$

Ответ: $3\sin(9x) + C$

3) $\int \frac{15}{\cos^2 10x} dx$

Решение

Вынесем постоянный множитель 15 за знак интеграла:

$\int \frac{15}{\cos^2 10x} dx = 15 \int \frac{1}{\cos^2 10x} dx$

Введем замену переменной. Пусть $t = 10x$, тогда $dt = 10 dx$, откуда $dx = \frac{dt}{10}$.

Подставляем в интеграл:

$15 \int \frac{1}{\cos^2 t} \cdot \frac{dt}{10} = \frac{15}{10} \int \frac{1}{\cos^2 t} dt = 1.5 \int \frac{1}{\cos^2 t} dt$

Согласно таблице интегралов, $\int \frac{1}{\cos^2 t} dt = \tan t + C$.

$1.5 \int \frac{1}{\cos^2 t} dt = 1.5 \tan t + C$

Производим обратную замену $t = 10x$:

$1.5\tan(10x) + C$

Ответ: $1.5\tan(10x) + C$

4) $\int \frac{20}{\sin^2 2.5x} dx$

Решение

Выносим константу 20 за знак интеграла:

$\int \frac{20}{\sin^2 2.5x} dx = 20 \int \frac{1}{\sin^2 2.5x} dx$

Используем метод замены переменной. Пусть $t = 2.5x$. Тогда $dt = 2.5 dx$, и $dx = \frac{dt}{2.5}$.

Подставляем в интеграл:

$20 \int \frac{1}{\sin^2 t} \cdot \frac{dt}{2.5} = \frac{20}{2.5} \int \frac{1}{\sin^2 t} dt = 8 \int \frac{1}{\sin^2 t} dt$

По таблице интегралов, $\int \frac{1}{\sin^2 t} dt = -\cot t + C$.

$8 \int \frac{1}{\sin^2 t} dt = 8(-\cot t) + C = -8\cot t + C$

Делаем обратную замену $t = 2.5x$:

$-8\cot(2.5x) + C$

Ответ: $-8\cot(2.5x) + C$

Напишите общий вид первообразных для данных функций (19–23):

$f(x) = (2x + 3)^3;$

2) $f(x) = (3x - 2)^8;$

3) $f(x) = \sin (3x - 4);$

4) $f(x) = \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right).$

1) f(x) = (2x + 3)³
Решение:Для нахождения общего вида первообразных $F(x)$ для функции $f(x) = (2x+3)^3$ воспользуемся правилом интегрирования сложной функции вида $f(kx+b)$. Общий вид первообразных для такой функции находится по формуле:$\int f(kx+b)dx = \frac{1}{k}F_u(kx+b) + C$, где $F_u$ - первообразная для $f(u)$.В данном случае, внутренняя функция $u = 2x+3$, поэтому коэффициент $k=2$. Внешняя функция - степенная $f(u) = u^3$.Первообразная для степенной функции $u^3$ равна $F_u(u) = \frac{u^{3+1}}{3+1} = \frac{u^4}{4}$.Применяя формулу, получаем:$F(x) = \int (2x+3)^3 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+3)^4}{4} + C = \frac{(2x+3)^4}{8} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{(2x+3)^4}{8} + C$.

2) f(x) = (3x - 2)⁸
Решение:Аналогично находим первообразную для функции $f(x) = (3x-2)^8$.Здесь внутренняя функция $u = 3x-2$, следовательно, коэффициент $k=3$. Внешняя функция - $f(u) = u^8$.Первообразная для $u^8$ равна $F_u(u) = \frac{u^{8+1}}{8+1} = \frac{u^9}{9}$.Применяя правило нахождения первообразной для сложной функции, получаем:$F(x) = \int (3x-2)^8 dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-2)^9}{9} + C = \frac{(3x-2)^9}{27} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{(3x-2)^9}{27} + C$.

3) f(x) = sin(3x - 4)
Решение:Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = \sin(3x-4)$.Внутренняя функция $u = 3x-4$, коэффициент $k=3$. Внешняя функция - $f(u) = \sin(u)$.Первообразная для функции $\sin(u)$ равна $F_u(u) = -\cos(u)$.Следовательно, общий вид первообразных для данной функции:$F(x) = \int \sin(3x-4) dx = \frac{1}{3} \cdot (-\cos(3x-4)) + C = -\frac{1}{3}\cos(3x-4) + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3}\cos(3x-4) + C$.

4) f(x) = cos(2x + π/3)
Решение:Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = \cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$.Внутренняя функция $u = 2x+\frac{\pi}{3}$, коэффициент $k=2$. Внешняя функция - $f(u) = \cos(u)$.Первообразная для функции $\cos(u)$ равна $F_u(u) = \sin(u)$.Следовательно, общий вид первообразных для данной функции:$F(x) = \int \cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right) dx = \frac{1}{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right) + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right) + C$.

20. 1) $f(x) = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{3} + 2x\right)}$;

2) $f(x) = \frac{1}{\sin^2\left(3x - \frac{\pi}{8}\right)}$;

3) $f(x) = 1 - \frac{5}{\sin^2\left(\frac{x}{5} + \frac{\pi}{6}\right)}$;

4) $f(x) = 1 + \frac{6}{\cos^2\left(\frac{x}{6} - \frac{\pi}{5}\right)}$.

1) Решение:

Период функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{3} + 2x)}$ совпадает с периодом функции $g(x) = \cos^2(\frac{\pi}{3} + 2x)$, так как операция взятия обратной величины не изменяет период.

Основной период функции $\cos^2(t)$ равен $\pi$. Для функции вида $y=h(kx+b)$, где $T_h$ — основной период функции $h(t)$, основной период $T$ функции $y$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_h}{|k|}$.

В нашем случае $h(t) = \cos^2(t)$, поэтому $T_h = \pi$. Аргумент функции — $\frac{\pi}{3} + 2x$, следовательно, коэффициент $k=2$.

Таким образом, основной период функции $f(x)$ равен:

$T = \frac{\pi}{|2|} = \frac{\pi}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

2) Решение:

Период функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2(3x - \frac{\pi}{8})}$ совпадает с периодом функции $g(x) = \sin^2(3x - \frac{\pi}{8})$.

Основной период функции $\sin^2(t)$ равен $\pi$. Период функции вида $y=h(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{T_h}{|k|}$, где $T_h$ — основной период функции $h(t)$.

В данном случае $h(t) = \sin^2(t)$, поэтому $T_h = \pi$. Аргумент функции — $3x - \frac{\pi}{8}$, следовательно, коэффициент $k=3$.

Основной период функции $f(x)$ равен:

$T = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

3) Решение:

Для функции $f(x) = 1 - \frac{5}{\sin^2(\frac{x}{5} + \frac{\pi}{6})}$, операции сложения с константой и умножения на константу не влияют на период. Поэтому период $f(x)$ совпадает с периодом функции $g(x) = \sin^2(\frac{x}{5} + \frac{\pi}{6})$.

Основной период функции $\sin^2(t)$ равен $\pi$. Период функции вида $y=h(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{T_h}{|k|}$.

Здесь $h(t) = \sin^2(t)$ с периодом $T_h = \pi$. Аргумент функции — $\frac{x}{5} + \frac{\pi}{6}$, следовательно, коэффициент $k=\frac{1}{5}$.

Основной период функции $f(x)$ равен:

$T = \frac{\pi}{|\frac{1}{5}|} = 5\pi$

Ответ: $5\pi$.

4) Решение:

Период функции $f(x) = 1 + \frac{6}{\cos^2(\frac{x}{6} - \frac{\pi}{5})}$ не изменяется при сложении с константой и умножении на константу. Следовательно, период $f(x)$ равен периоду функции $g(x) = \cos^2(\frac{x}{6} - \frac{\pi}{5})$.

Основной период функции $\cos^2(t)$ равен $\pi$. Период функции вида $y=h(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{T_h}{|k|}$.

В этом случае $h(t) = \cos^2(t)$ с периодом $T_h = \pi$. Аргумент функции — $\frac{x}{6} - \frac{\pi}{5}$, следовательно, коэффициент $k=\frac{1}{6}$.

Основной период функции $f(x)$ равен:

$T = \frac{\pi}{|\frac{1}{6}|} = 6\pi$

Ответ: $6\pi$.