Страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

30. Вычислите площади криволинейных трапеций, данных на рис. 8.

1 y

x

4

-1

O

1

$y=x^2-2x+1$

2 y

x

3

O

2

$y=2+2x-x^2$

3 y

x

4

-2

O

2

$y=x^2$

4 y

x

3

O

$\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{2}$

$\pi$

$y=3\sin x$

Рис. 8

1

Дано: криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = x^2 - 2x + 1$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=-1$, $x=0$.

Найти: площадь $S_1$ данной криволинейной трапеции.

Решение: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_a^b f(x) \,dx$. В данном случае $f(x) = x^2 - 2x + 1$, что можно записать как $(x-1)^2$. Эта функция неотрицательна при всех значениях $x$. Пределами интегрирования являются $a = -1$ и $b = 0$. Вычислим определенный интеграл: $S_1 = \int_{-1}^{0} (x^2 - 2x + 1) \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{0} = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right]_{-1}^{0}$. Подставим пределы интегрирования: $S_1 = (\frac{0^3}{3} - 0^2 + 0) - (\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + (-1)) = 0 - (-\frac{1}{3} - 1 - 1) = 0 - (-\frac{7}{3}) = \frac{7}{3}$.

Ответ: $S_1 = \frac{7}{3}$.

2

Дано: криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = 2 + 2x - x^2$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=0$, $x=2$.

Найти: площадь $S_2$ данной криволинейной трапеции.

Решение: Используем формулу $S = \int_a^b f(x) \,dx$. Здесь $f(x) = 2 + 2x - x^2$. Для проверки неотрицательности функции на отрезке $[0, 2]$ найдем ее вершину: $x_v = -\frac{2}{2(-1)} = 1$. Значение в вершине $y_v = 2 + 2(1) - 1^2 = 3$. Так как ветви параболы направлены вниз, а вершина находится в точке $(1, 3)$, на отрезке $[0, 2]$ функция положительна. Пределами интегрирования являются $a = 0$ и $b = 2$. $S_2 = \int_{0}^{2} (2 + 2x - x^2) \,dx = \left[ 2x + 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left[ 2x + x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$. Подставляем пределы: $S_2 = (2(2) + 2^2 - \frac{2^3}{3}) - (2(0) + 0^2 - \frac{0^3}{3}) = (4 + 4 - \frac{8}{3}) - 0 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24-8}{3} = \frac{16}{3}$.

Ответ: $S_2 = \frac{16}{3}$.

3

Дано: криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = x^2$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=-2$, $x=2$.

Найти: площадь $S_3$ данной криволинейной трапеции.

Решение: Используем формулу $S = \int_a^b f(x) \,dx$. Здесь $f(x) = x^2$, функция неотрицательна при всех $x$. Пределы интегрирования $a=-2, b=2$. Функция $y=x^2$ является четной, а отрезок интегрирования $[-2, 2]$ симметричен относительно нуля. Поэтому можно вычислить интеграл на отрезке $[0, 2]$ и удвоить результат: $S_3 = \int_{-2}^{2} x^2 \,dx = 2 \int_{0}^{2} x^2 \,dx$. $S_3 = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \cdot (\frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3}) = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$. Проверим прямым вычислением: $S_3 = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{8}{3} - (-\frac{8}{3}) = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.

Ответ: $S_3 = \frac{16}{3}$.

4

Дано: криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = 3\sin(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=\frac{\pi}{4}$, $x=\pi$.

Найти: площадь $S_4$ данной криволинейной трапеции.

Решение: Используем формулу $S = \int_a^b f(x) \,dx$. Здесь $f(x) = 3\sin(x)$. На отрезке $[\frac{\pi}{4}, \pi]$ функция $\sin(x)$ неотрицательна, следовательно, и $f(x)$ неотрицательна. Пределы интегрирования $a=\frac{\pi}{4}, b=\pi$. $S_4 = \int_{\pi/4}^{\pi} 3\sin(x) \,dx = 3 \int_{\pi/4}^{\pi} \sin(x) \,dx = 3 [-\cos(x)]_{\pi/4}^{\pi} = -3[\cos(x)]_{\pi/4}^{\pi}$. Подставляем пределы: $S_4 = -3(\cos(\pi) - \cos(\frac{\pi}{4})) = -3(-1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $S_4 = 3 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

32. 1) $y=3x^2 - 4x$, $y=0$, $x=-2$, $x=-1$;

2) $y=3x-x^2$, $y=0$, $x=2$, $x=1$.

1)

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y = 3x^2 - 4x$, $y = 0$, $x = -2$, $x = -1$.

Найти:

Площадь $S$ данной фигуры.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Если функция $f(x)$ непрерывна и не меняет знак на отрезке $[a, b]$, то площадь $S$ равна $S = \int_a^b |f(x)| dx$.

В нашем случае $f(x) = 3x^2 - 4x$, $a=-2$, $b=-1$.

Определим знак функции $f(x)$ на отрезке $[-2, -1]$. Найдем нули функции, решив уравнение $f(x)=0$:

$3x^2 - 4x = 0$

$x(3x - 4) = 0$

Нули функции: $x_1=0$ и $x_2=\frac{4}{3}$.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция положительна при $x < 0$ и $x > \frac{4}{3}$. Так как отрезок интегрирования $[-2, -1]$ полностью лежит в области $x < 0$, то на этом отрезке функция $f(x) \ge 0$.

Таким образом, площадь фигуры вычисляется по формуле:

$S = \int_{-2}^{-1} (3x^2 - 4x)dx$

Для вычисления интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Найдем первообразную: $F(x) = \int (3x^2 - 4x)dx = 3\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} = x^3 - 2x^2$.

Вычислим значение определенного интеграла:

$S = F(-1) - F(-2) = ((-1)^3 - 2(-1)^2) - ((-2)^3 - 2(-2)^2)$

$S = (-1 - 2 \cdot 1) - (-8 - 2 \cdot 4) = (-1 - 2) - (-8 - 8) = -3 - (-16) = -3 + 16 = 13$.

Ответ: 13.

2)

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y = 3x - x^2$, $y = 0$, $x = 2$, $x = 1$.

Найти:

Площадь $S$ данной фигуры.

Решение:

Площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла. В данном случае $f(x) = 3x - x^2$, а пределы интегрирования $a=1$ и $b=2$.

Определим знак функции $f(x)$ на отрезке $[1, 2]$. Найдем нули функции, решив уравнение $f(x)=0$:

$3x - x^2 = 0$

$x(3 - x) = 0$

Нули функции: $x_1=0$ и $x_2=3$.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, функция положительна на интервале $(0, 3)$. Так как отрезок интегрирования $[1, 2]$ полностью принадлежит этому интервалу, то на нем функция $f(x) \ge 0$.

Площадь фигуры можно вычислить по формуле:

$S = \int_{1}^{2} (3x - x^2)dx$

Для вычисления интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для $f(x)$:

$F(x) = \int (3x - x^2)dx = 3\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}$.

Теперь вычислим значение определенного интеграла:

$S = F(2) - F(1) = \left( \frac{3 \cdot 2^2}{2} - \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{3 \cdot 1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right)$

$S = \left( \frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \right) = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{9}{6} - \frac{2}{6} \right)$

$S = \left( \frac{18}{3} - \frac{8}{3} \right) - \frac{7}{6} = \frac{10}{3} - \frac{7}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$S = \frac{10 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{7}{6} = \frac{20}{6} - \frac{7}{6} = \frac{13}{6}$.

Ответ: $\frac{13}{6}$.

$y = \sin \frac{x}{2}$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{3\pi}{2}$;

2) $y = \cos 2x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$.

1) $y=\sin\frac{x}{2}, \quad y=0, \quad x=\frac{\pi}{2}, \quad x=\frac{3\pi}{2}$

Дано:

Фигура ограничена линиями:
$y = \sin \frac{x}{2}$
$y = 0$ (ось Ox)
$x = \frac{\pi}{2}$
$x = \frac{3\pi}{2}$

Найти:

Площадь $S$ данной фигуры.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $y=f(x)$, снизу осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница, если функция $f(x)$ неотрицательна на отрезке $[a, b]$:

$S = \int_a^b f(x)dx$

В данном случае $f(x) = \sin\frac{x}{2}$, $a = \frac{\pi}{2}$, $b = \frac{3\pi}{2}$.

Проверим знак функции $f(x) = \sin\frac{x}{2}$ на отрезке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.
Если $x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$, то аргумент синуса $\frac{x}{2}$ находится в пределах $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$.
В этом интервале (I и II четверти) синус принимает положительные значения. Следовательно, $\sin\frac{x}{2} \ge 0$ на всем отрезке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. Значит, мы можем применить указанную формулу.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \sin\frac{x}{2} dx$

Первообразная для функции $\sin\frac{x}{2}$ равна $\frac{-\cos(x/2)}{1/2} = -2\cos\frac{x}{2}$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ -2\cos\frac{x}{2} \right]_{\pi/2}^{3\pi/2} = \left(-2\cos\frac{3\pi/2}{2}\right) - \left(-2\cos\frac{\pi/2}{2}\right) = -2\cos\frac{3\pi}{4} + 2\cos\frac{\pi}{4}$

Зная, что $\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставляем эти значения:

$S = -2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}$

2) $y=\cos 2x, \quad y=0, \quad x=-\frac{\pi}{4}, \quad x=\frac{\pi}{4}$

Дано:

Фигура ограничена линиями:
$y = \cos 2x$
$y = 0$ (ось Ox)
$x = -\frac{\pi}{4}$
$x = \frac{\pi}{4}$

Найти:

Площадь $S$ данной фигуры.

Решение:

Площадь фигуры вычисляется по формуле $S = \int_a^b f(x)dx$.

В данном случае $f(x) = \cos 2x$, $a = -\frac{\pi}{4}$, $b = \frac{\pi}{4}$.

Проверим знак функции $f(x) = \cos 2x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.
Если $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$, то аргумент косинуса $2x$ находится в пределах $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
В этом интервале (IV и I четверти) косинус принимает неотрицательные значения. Следовательно, $\cos 2x \ge 0$ на всем отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$, и мы можем применить формулу для площади.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos 2x dx$

Первообразная для функции $\cos 2x$ равна $\frac{\sin 2x}{2}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{1}{2}\sin 2x \right]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-z) = -\sin(z)$, получаем:

$S = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} = \sin\frac{\pi}{2}$

Так как $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, то площадь равна:

$S = 1$

Замечание: так как функция $y=\cos 2x$ является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, можно было вычислить интеграл как $S = 2 \int_{0}^{\pi/4} \cos 2x dx$, что привело бы к тому же результату.

Ответ: 1