Страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Напишите общий вид первообразных для данных функций (5–7):

5.1) $f(x) = 1 - x;$

2) $f(x) = 2x - 1;$

3) $f(x) = 3x^2 + 2x - 1;$

4) $f(x) = 2 - 4x - 3x^2.$

1) f(x) = 1 - x

Решение:

Общий вид первообразных для функции $f(x)$, обозначаемый как $F(x)$, находится путем вычисления неопределенного интеграла $\int f(x) dx$. Для нахождения первообразной для полинома используется правило степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Для данной функции $f(x) = 1 - x$ имеем:

$F(x) = \int (1 - x) dx = \int 1 dx - \int x dx$

Вычисляем каждый интеграл по отдельности:

$\int 1 dx = \int x^0 dx = x$

$\int x dx = \int x^1 dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$

Объединяя результаты и добавляя константу интегрирования $C$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = x - \frac{x^2}{2} + C$

Ответ: $F(x) = x - \frac{x^2}{2} + C$.

2) f(x) = 2x - 1

Решение:

Находим неопределенный интеграл от функции $f(x) = 2x - 1$:

$F(x) = \int (2x - 1) dx = \int 2x dx - \int 1 dx$

Используя правила интегрирования:

$\int 2x dx = 2 \int x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$

$\int 1 dx = x$

Следовательно, общий вид первообразных:

$F(x) = x^2 - x + C$

Ответ: $F(x) = x^2 - x + C$.

3) f(x) = 3x² + 2x - 1

Решение:

Находим неопределенный интеграл от функции $f(x) = 3x^2 + 2x - 1$:

$F(x) = \int (3x^2 + 2x - 1) dx = \int 3x^2 dx + \int 2x dx - \int 1 dx$

Вычисляем каждый интеграл по отдельности:

$\int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$

$\int 2x dx = 2 \int x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$

$\int 1 dx = x$

Следовательно, общий вид первообразных:

$F(x) = x^3 + x^2 - x + C$

Ответ: $F(x) = x^3 + x^2 - x + C$.

4) f(x) = 2 - 4x - 3x²

Решение:

Находим неопределенный интеграл от функции $f(x) = 2 - 4x - 3x^2$:

$F(x) = \int (2 - 4x - 3x^2) dx = \int 2 dx - \int 4x dx - \int 3x^2 dx$

Вычисляем каждый интеграл:

$\int 2 dx = 2x$

$\int 4x dx = 4 \int x dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2$

$\int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$

Следовательно, общий вид первообразных:

$F(x) = 2x - 2x^2 - x^3 + C$

Ответ: $F(x) = 2x - 2x^2 - x^3 + C$.

6. 1) $f(x) = 5x^4 - 3x^2;$

2) $f(x) = 4x^3 - 6x^5 + 1;$

3) $f(x) = x^{10} + \frac{13}{12}x^{12};$

4) $f(x) = -x^9 + \frac{15}{14}x^{14}.$

6.1)

Дано:

Функция $f(x) = 5x^4 - 3x^2$.

Найти:

Общий вид первообразных $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Для нахождения первообразной функции $f(x)$ (то есть, её неопределенного интеграла) необходимо использовать правила интегрирования. Основная формула для степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Первообразная от разности функций равна разности первообразных, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

$F(x) = \int (5x^4 - 3x^2) dx = \int 5x^4 dx - \int 3x^2 dx$

$F(x) = 5 \int x^4 dx - 3 \int x^2 dx = 5 \left(\frac{x^{4+1}}{4+1}\right) - 3 \left(\frac{x^{2+1}}{2+1}\right) + C$

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C$

После упрощения получаем:

$F(x) = x^5 - x^3 + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = x^5 - x^3 + C$.

2)

Дано:

Функция $f(x) = 4x^3 - 6x^5 + 1$.

Найти:

Общий вид первообразных $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Находим первообразную, применяя те же правила интегрирования. Первообразная константы $k$ равна $kx$. В данном случае, первообразная от $1$ равна $x$.

$F(x) = \int (4x^3 - 6x^5 + 1) dx = \int 4x^3 dx - \int 6x^5 dx + \int 1 dx$

$F(x) = 4 \left(\frac{x^{3+1}}{3+1}\right) - 6 \left(\frac{x^{5+1}}{5+1}\right) + x + C$

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 6 \cdot \frac{x^6}{6} + x + C$

Упрощая выражение, получаем:

$F(x) = x^4 - x^6 + x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = x^4 - x^6 + x + C$.

3)

Дано:

Функция $f(x) = x^{10} + \frac{13}{12} x^{12}$.

Найти:

Общий вид первообразных $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Используем формулу для нахождения первообразной степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int (x^{10} + \frac{13}{12} x^{12}) dx = \int x^{10} dx + \int \frac{13}{12} x^{12} dx$

$F(x) = \frac{x^{10+1}}{10+1} + \frac{13}{12} \left(\frac{x^{12+1}}{12+1}\right) + C$

$F(x) = \frac{x^{11}}{11} + \frac{13}{12} \cdot \frac{x^{13}}{13} + C$

Сокращаем дробь во втором слагаемом:

$F(x) = \frac{x^{11}}{11} + \frac{x^{13}}{12} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{x^{11}}{11} + \frac{x^{13}}{12} + C$.

4)

Дано:

Функция $f(x) = -x^9 + \frac{15}{14} x^{14}$.

Найти:

Общий вид первообразных $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Находим первообразную, используя те же правила.

$F(x) = \int (-x^9 + \frac{15}{14} x^{14}) dx = \int (-x^9) dx + \int \frac{15}{14} x^{14} dx$

$F(x) = - \int x^9 dx + \frac{15}{14} \int x^{14} dx = - \left(\frac{x^{9+1}}{9+1}\right) + \frac{15}{14} \left(\frac{x^{14+1}}{14+1}\right) + C$

$F(x) = - \frac{x^{10}}{10} + \frac{15}{14} \cdot \frac{x^{15}}{15} + C$

Сокращаем дробь во втором слагаемом:

$F(x) = -\frac{x^{10}}{10} + \frac{x^{15}}{14} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = -\frac{x^{10}}{10} + \frac{x^{15}}{14} + C$.

7.1) $f(x) = 3\cos x - 4\sin x,$

2) $f(x) = 5\sin x + 6\cos x,$

3) $f(x) = \frac{2}{\cos^2 x} + 8x^7;$

4) $f(x) = \frac{3}{\sin^2 x} - 9x^8.$

7.1)

Решение:
Для нахождения первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = 3\cos x - 4\sin x$ необходимо вычислить неопределенный интеграл от $f(x)$. $F(x) = \int (3\cos x - 4\sin x) dx$. Используя свойство линейности интеграла, разделим интеграл на два и вынесем константы: $F(x) = 3\int \cos x dx - 4\int \sin x dx$. Применяя табличные интегралы $\int \cos x dx = \sin x$ и $\int \sin x dx = -\cos x$, получаем: $F(x) = 3(\sin x) - 4(-\cos x) + C = 3\sin x + 4\cos x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 3\sin x + 4\cos x + C$.

2)

Решение:
Для функции $f(x) = 5\sin x + 6\cos x$ найдем ее общую первообразную $F(x)$, вычисляя интеграл: $F(x) = \int (5\sin x + 6\cos x) dx$. По свойству линейности интеграла: $F(x) = 5\int \sin x dx + 6\int \cos x dx$. Используя табличные интегралы $\int \sin x dx = -\cos x$ и $\int \cos x dx = \sin x$, получаем: $F(x) = 5(-\cos x) + 6(\sin x) + C = 6\sin x - 5\cos x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 6\sin x - 5\cos x + C$.

3)

Решение:
Для функции $f(x) = \frac{2}{\cos^2 x} + 8x^7$ найдем ее общую первообразную $F(x)$. $F(x) = \int \left(\frac{2}{\cos^2 x} + 8x^7\right) dx$. По свойству линейности интеграла: $F(x) = 2\int \frac{1}{\cos^2 x} dx + 8\int x^7 dx$. Используем табличные интегралы: $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x$ и для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Для $n=7$ имеем $\int x^7 dx = \frac{x^{7+1}}{7+1} = \frac{x^8}{8}$. Подставляя, получаем: $F(x) = 2\tan x + 8\left(\frac{x^8}{8}\right) + C = 2\tan x + x^8 + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 2\tan x + x^8 + C$.

4)

Решение:
Для функции $f(x) = \frac{3}{\sin^2 x} - 9x^8$ найдем ее общую первообразную $F(x)$. $F(x) = \int \left(\frac{3}{\sin^2 x} - 9x^8\right) dx$. По свойству линейности интеграла: $F(x) = 3\int \frac{1}{\sin^2 x} dx - 9\int x^8 dx$. Используем табличные интегралы: $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x$ и для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Для $n=8$ имеем $\int x^8 dx = \frac{x^{8+1}}{8+1} = \frac{x^9}{9}$. Подставляя, получаем: $F(x) = 3(-\cot x) - 9\left(\frac{x^9}{9}\right) + C = -3\cot x - x^9 + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = -3\cot x - x^9 + C$.

Найдите неопределенные интегралы (8–9):

8.1) $\int x^{21}dx,$

2) $\int x^{-15}dx,$

3) $\int \frac{1}{4\sqrt{x}}dx,$

4) $\int \frac{5}{\sin^2 x}dx.$

8.1) $\int x^{21} dx$

Решение:

Для нахождения данного неопределенного интеграла воспользуемся табличной формулой для степенной функции: $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $, где $C$ — произвольная постоянная.

В нашем случае показатель степени $n=21$. Подставляем это значение в формулу:

$ \int x^{21} dx = \frac{x^{21+1}}{21+1} + C = \frac{x^{22}}{22} + C $

Ответ: $ \frac{x^{22}}{22} + C $.

2) $\int x^{-15} dx$

Решение:

Этот интеграл также является интегралом от степенной функции. Применяем ту же формулу: $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $.

Здесь показатель степени $n=-15$. Подставляем в формулу:

$ \int x^{-15} dx = \frac{x^{-15+1}}{-15+1} + C = \frac{x^{-14}}{-14} + C = -\frac{1}{14x^{14}} + C $

Ответ: $ -\frac{1}{14x^{14}} + C $.

3) $\int \frac{1}{4\sqrt{x}} dx$

Решение:

Сначала преобразуем подынтегральное выражение, представив корень в виде степени и вынеся константу за знак интеграла.

$ \frac{1}{4\sqrt{x}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{1}{4}x^{-1/2} $

$ \int \frac{1}{4\sqrt{x}} dx = \int \frac{1}{4}x^{-1/2} dx = \frac{1}{4} \int x^{-1/2} dx $

Теперь используем формулу для степенной функции при $ n = -1/2 $:

$ \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{1}{4} \cdot 2x^{1/2} + C = \frac{1}{2}x^{1/2} + C = \frac{\sqrt{x}}{2} + C $

Ответ: $ \frac{\sqrt{x}}{2} + C $.

4) $\int \frac{5}{\sin^2 x} dx$

Решение:

Вынесем константу $5$ за знак интеграла:

$ \int \frac{5}{\sin^2 x} dx = 5 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx $

Интеграл $ \int \frac{1}{\sin^2 x} dx $ является табличным. Его значение равно $ -\cot x + C $.

Подставляем это значение в наше выражение:

$ 5 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = 5(-\cot x) + C = -5\cot x + C $

Ответ: $ -5\cot x + C $.

9.1) $\int (x^4 - x^3 + x^2)dx,$

2) $\int (4x^3 + 5x^4 + 6x^5)dx,$

3) $\int (\cos x - 2)dx,$

4) $\int (3 + \sin x)dx.$

9.1) 1)
Дано:
Неопределенный интеграл $\int (x^4 - x^3 + x^2)dx$.
Найти:
Вычислить интеграл.
Решение:
Для вычисления интеграла от суммы/разности функций воспользуемся свойством аддитивности интеграла: $\int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$.
$\int (x^4 - x^3 + x^2)dx = \int x^4 dx - \int x^3 dx + \int x^2 dx$.
Далее, для каждого слагаемого применяем табличную формулу для интеграла от степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
$\int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^5}{5}$.
$\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.
$\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.
Собираем все вместе и добавляем одну общую константу интегрирования $C$:
$\frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C$.
Ответ: $\frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C$.

2) Дано:
Неопределенный интеграл $\int (4x^3 + 5x^4 + 6x^5)dx$.
Найти:
Вычислить интеграл.
Решение:
Используем свойство линейности интеграла: $\int (a \cdot f(x) + b \cdot g(x))dx = a \int f(x)dx + b \int g(x)dx$.
$\int (4x^3 + 5x^4 + 6x^5)dx = 4\int x^3 dx + 5\int x^4 dx + 6\int x^5 dx$.
Применяем формулу для интеграла от степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ к каждому слагаемому:
$4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + 6 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 5 \cdot \frac{x^5}{5} + 6 \cdot \frac{x^6}{6} + C$.
После сокращения дробей получаем:
$x^4 + x^5 + x^6 + C$.
Для удобства запишем многочлен в порядке убывания степеней:
$x^6 + x^5 + x^4 + C$.
Ответ: $x^6 + x^5 + x^4 + C$.

3) Дано:
Неопределенный интеграл $\int (\cos x - 2)dx$.
Найти:
Вычислить интеграл.
Решение:
Используем свойство аддитивности интеграла:
$\int (\cos x - 2)dx = \int \cos x dx - \int 2 dx$.
Применяем табличные интегралы: $\int \cos x dx = \sin x + C$ и $\int a dx = ax + C$.
$\int \cos x dx = \sin x$.
$\int 2 dx = 2x$.
Объединяя результаты и добавляя константу интегрирования $C$, получаем:
$\sin x - 2x + C$.
Ответ: $\sin x - 2x + C$.

4) Дано:
Неопределенный интеграл $\int (3 + \sin x)dx$.
Найти:
Вычислить интеграл.
Решение:
Используем свойство аддитивности интеграла:
$\int (3 + \sin x)dx = \int 3 dx + \int \sin x dx$.
Применяем табличные интегралы: $\int a dx = ax + C$ и $\int \sin x dx = -\cos x + C$.
$\int 3 dx = 3x$.
$\int \sin x dx = -\cos x$.
Объединяя результаты и добавляя константу интегрирования $C$, получаем:
$3x - \cos x + C$.
Ответ: $3x - \cos x + C$.

Найдите первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, график которой проходит через точку $M(a, b)$ (10–11):

10.1) $f(x) = 1 + \frac{x}{2}$, $M(1; 3)$;

2) $f(x) = 2 + 4x$, $M(-1; 1)$;

3) $f(x) = \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$, $M\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$;

4) $f(x) = \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$, $M\left(\frac{3\pi}{2}; 2\right)$.

1)

Дано:

$f(x) = 1 + \frac{x}{2}$

График первообразной $F(x)$ проходит через точку $M(1; 3)$.

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Общий вид первообразной для функции $f(x)$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int f(x) dx = \int (1 + \frac{x}{2}) dx$.

Используя свойства интегралов и таблицу первообразных, получаем:

$F(x) = \int 1 dx + \int \frac{x}{2} dx = x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = x + \frac{x^2}{4} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

По условию, график первообразной $F(x)$ проходит через точку $M(1; 3)$, что означает $F(1) = 3$.

Подставим $x = 1$ и $F(1) = 3$ в выражение для $F(x)$:

$3 = 1 + \frac{1^2}{4} + C$

$3 = 1 + \frac{1}{4} + C$

$3 = \frac{5}{4} + C$

Отсюда находим константу $C$:

$C = 3 - \frac{5}{4} = \frac{12}{4} - \frac{5}{4} = \frac{7}{4}$.

Подставляем найденное значение $C$ в общую формулу первообразной:

$F(x) = x + \frac{x^2}{4} + \frac{7}{4}$.

Ответ: $F(x) = x + \frac{x^2}{4} + \frac{7}{4}$.

2)

Дано:

$f(x) = 2 + 4x$

График первообразной $F(x)$ проходит через точку $M(-1; 1)$.

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Общий вид первообразной для функции $f(x)$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int (2 + 4x) dx$.

Используя свойства интегралов и таблицу первообразных, получаем:

$F(x) = \int 2 dx + \int 4x dx = 2x + 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 2x + 2x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

По условию, график первообразной $F(x)$ проходит через точку $M(-1; 1)$, что означает $F(-1) = 1$.

Подставим $x = -1$ и $F(-1) = 1$ в выражение для $F(x)$:

$1 = 2(-1) + 2(-1)^2 + C$

$1 = -2 + 2(1) + C$

$1 = -2 + 2 + C$

Отсюда находим константу $C$:

$C = 1$.

Подставляем найденное значение $C$ в общую формулу первообразной и упорядочиваем слагаемые:

$F(x) = 2x^2 + 2x + 1$.

Ответ: $F(x) = 2x^2 + 2x + 1$.

3)

Дано:

$f(x) = \cos(x - \frac{\pi}{3})$

График первообразной $F(x)$ проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; 1)$.

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Общий вид первообразной для функции $f(x)$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int \cos(x - \frac{\pi}{3}) dx$.

Используя формулу для интеграла от косинуса сложного аргумента $\int \cos(kx+b)dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b)+C$, где $k=1$ и $b=-\frac{\pi}{3}$, получаем:

$F(x) = \sin(x - \frac{\pi}{3}) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

По условию, график первообразной $F(x)$ проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; 1)$, что означает $F(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Подставим $x = \frac{\pi}{2}$ и $F(\frac{\pi}{2}) = 1$ в выражение для $F(x)$:

$1 = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) + C$

$1 = \sin(\frac{3\pi - 2\pi}{6}) + C$

$1 = \sin(\frac{\pi}{6}) + C$

Значение синуса $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

$1 = \frac{1}{2} + C$

Отсюда находим константу $C$:

$C = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Подставляем найденное значение $C$ в общую формулу первообразной:

$F(x) = \sin(x - \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2}$.

Ответ: $F(x) = \sin(x - \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2}$.

4)

Дано:

$f(x) = \sin(x - \frac{\pi}{4})$

График первообразной $F(x)$ проходит через точку $M(\frac{3\pi}{2}; 2)$.

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Общий вид первообразной для функции $f(x)$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int \sin(x - \frac{\pi}{4}) dx$.

Используя формулу для интеграла от синуса сложного аргумента $\int \sin(kx+b)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b)+C$, где $k=1$ и $b=-\frac{\pi}{4}$, получаем:

$F(x) = -\cos(x - \frac{\pi}{4}) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

По условию, график первообразной $F(x)$ проходит через точку $M(\frac{3\pi}{2}; 2)$, что означает $F(\frac{3\pi}{2}) = 2$.

Подставим $x = \frac{3\pi}{2}$ и $F(\frac{3\pi}{2}) = 2$ в выражение для $F(x)$:

$2 = -\cos(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) + C$

$2 = -\cos(\frac{6\pi - \pi}{4}) + C$

$2 = -\cos(\frac{5\pi}{4}) + C$

Вычислим значение косинуса. Используя формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:

$\cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим это значение в уравнение:

$2 = -(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + C$

$2 = \frac{\sqrt{2}}{2} + C$

Отсюда находим константу $C$:

$C = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем найденное значение $C$ в общую формулу первообразной:

$F(x) = -\cos(x - \frac{\pi}{4}) + 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $F(x) = -\cos(x - \frac{\pi}{4}) + 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

11.1) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{2x+1}}$, $M(4; 5);$

2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-3x}}$, $M(0; \frac{2}{3});$

3) $f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$, $M(\frac{\pi}{4}; 2);$

4) $f(x) = \frac{2}{\sin^2 x}$, $M(\frac{\pi}{4}; 3).$

1) Дано:

Функция $f(x) = \frac{2}{\sqrt{2x+1}}$.

Точка $M(4; 5)$, через которую проходит график искомой первообразной $F(x)$.

Найти:

Первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Общий вид первообразной для функции $f(x)$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int f(x) dx = \int \frac{2}{\sqrt{2x+1}} dx = 2 \int (2x+1)^{-1/2} dx$.

Используем формулу для интегрирования степенной функции со сложным аргументом $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае $a=2$, $b=1$, $n=-1/2$.

$F(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = \frac{(2x+1)^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{2x+1} + C$.

Таким образом, общий вид первообразной: $F(x) = 2\sqrt{2x+1} + C$.

Чтобы найти значение константы $C$, используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(4; 5)$, то есть $F(4) = 5$.

Подставляем значения $x=4$ и $F(x)=5$ в уравнение для первообразной:

$5 = 2\sqrt{2 \cdot 4 + 1} + C$

$5 = 2\sqrt{9} + C$

$5 = 2 \cdot 3 + C$

$5 = 6 + C$

$C = 5 - 6 = -1$.

Искомая первообразная:

$F(x) = 2\sqrt{2x+1} - 1$.

Ответ: $F(x) = 2\sqrt{2x+1} - 1$.

2) Дано:

Функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-3x}}$.

Точка $M(0; \frac{2}{3})$, через которую проходит график искомой первообразной $F(x)$.

Найти:

Первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Найдем общий вид первообразной, вычислив неопределенный интеграл:

$F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1-3x}} dx = \int (1-3x)^{-1/2} dx$.

Используем формулу $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

Здесь $a=-3$, $b=1$, $n=-1/2$.

$F(x) = \frac{1}{-3} \frac{(1-3x)^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = -\frac{1}{3} \frac{(1-3x)^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{2}{3}\sqrt{1-3x} + C$.

Общий вид первообразной: $F(x) = -\frac{2}{3}\sqrt{1-3x} + C$.

Используем условие $F(0) = \frac{2}{3}$ для нахождения константы $C$:

$\frac{2}{3} = -\frac{2}{3}\sqrt{1 - 3 \cdot 0} + C$

$\frac{2}{3} = -\frac{2}{3}\sqrt{1} + C$

$\frac{2}{3} = -\frac{2}{3} + C$

$C = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

Искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = -\frac{2}{3}\sqrt{1-3x} + \frac{4}{3}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{2}{3}\sqrt{1-3x} + \frac{4}{3}$.

3) Дано:

Функция $f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$.

Точка $M(\frac{\pi}{4}; 2)$, через которую проходит график искомой первообразной $F(x)$.

Найти:

Первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int \frac{3}{\cos^2 x} dx = 3 \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$.

Из таблицы основных интегралов известно, что $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$.

Следовательно, $F(x) = 3 \tan x + C$.

Общий вид первообразной: $F(x) = 3 \tan x + C$.

Используем условие, что $F(\frac{\pi}{4}) = 2$, чтобы найти $C$:

$2 = 3 \tan(\frac{\pi}{4}) + C$.

Так как $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$2 = 3 \cdot 1 + C$

$2 = 3 + C$

$C = 2 - 3 = -1$.

Искомая первообразная:

$F(x) = 3 \tan x - 1$.

Ответ: $F(x) = 3 \tan x - 1$.

4) Дано:

Функция $f(x) = \frac{2}{\sin^2 x}$.

Точка $M(\frac{\pi}{4}; 3)$, через которую проходит график искомой первообразной $F(x)$.

Найти:

Первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int \frac{2}{\sin^2 x} dx = 2 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx$.

Из таблицы основных интегралов известно, что $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$.

Следовательно, $F(x) = 2(-\cot x) + C = -2 \cot x + C$.

Общий вид первообразной: $F(x) = -2 \cot x + C$.

Используем условие, что $F(\frac{\pi}{4}) = 3$, чтобы найти $C$:

$3 = -2 \cot(\frac{\pi}{4}) + C$.

Так как $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$3 = -2 \cdot 1 + C$

$3 = -2 + C$

$C = 3 + 2 = 5$.

Искомая первообразная:

$F(x) = -2 \cot x + 5$.

Ответ: $F(x) = -2 \cot x + 5$.

12. Скорость точки, находящейся в прямолинейном движении, изменяется по закону $v(t) = t + 3t^2$ (время измеряется в секундах, скорость — в м/с). Найдите изменение координаты точки в зависимости от времени.

Дано:
Закон изменения скорости точки, находящейся в прямолинейном движении: $v(t) = t + 3t^2$.
Время $t$ измеряется в секундах (с).
Скорость $v$ измеряется в метрах в секунду (м/с).

Найти:
Изменение координаты точки в зависимости от времени.

Решение:
Скорость $v(t)$ является производной от координаты $x(t)$ по времени $t$: $v(t) = x'(t) = \frac{dx}{dt}$

Чтобы найти зависимость координаты от времени $x(t)$, необходимо найти первообразную от функции скорости $v(t)$, то есть проинтегрировать ее по времени. $x(t) = \int v(t) dt = \int (t + 3t^2) dt$

Интеграл от суммы равен сумме интегралов: $x(t) = \int t dt + \int 3t^2 dt$

Используем формулу для интегрирования степенной функции $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$: $x(t) = \frac{t^{1+1}}{1+1} + 3 \cdot \frac{t^{2+1}}{2+1} + C = \frac{t^2}{2} + 3 \cdot \frac{t^3}{3} + C$

Упростив выражение, получаем закон изменения координаты: $x(t) = \frac{t^2}{2} + t^3 + C$

Здесь $C$ — это константа интегрирования, которая соответствует начальной координате точки в момент времени $t=0$, то есть $C = x(0)$.

Изменение координаты (перемещение) точки за время $t$ определяется как разность между ее координатой в момент времени $t$ и ее начальной координатой $x(0)$. Обозначим изменение координаты как $\Delta x(t)$. $\Delta x(t) = x(t) - x(0)$

Подставляя полученные выражения, находим: $\Delta x(t) = \left(\frac{t^2}{2} + t^3 + C\right) - C = \frac{t^2}{2} + t^3$

Таким образом, изменение координаты точки как функция времени имеет вид $\Delta x(t) = \frac{t^2}{2} + t^3$.

Ответ: $\Delta x(t) = \frac{t^2}{2} + t^3$.

13. Скорость точки, находящейся в прямолинейном движении, изменяется по закону $v(t)=2t+6t^2$ (время измеряется в секундах, скорость — в м/с). Найдите изменение координаты точки в зависимости от времени.

Дано:

Закон изменения скорости точки, находящейся в прямолинейном движении: $v(t) = 2t + 6t^2$.

Время $t$ измеряется в секундах (с), а скорость $v$ — в метрах в секунду (м/с). Единицы соответствуют системе СИ.

Найти:

Изменение координаты точки в зависимости от времени, то есть перемещение $\Delta x(t)$.

Решение:

По определению, скорость является первой производной от координаты по времени:

$v(t) = \frac{dx(t)}{dt}$

Следовательно, чтобы найти закон изменения координаты $x(t)$, необходимо найти первообразную для функции скорости $v(t)$, то есть проинтегрировать функцию $v(t)$ по времени $t$.

$x(t) = \int v(t) dt = \int (2t + 6t^2) dt$

Воспользуемся правилами интегрирования. Интеграл суммы равен сумме интегралов:

$x(t) = \int 2t \, dt + \int 6t^2 \, dt$

Применяя формулу для интегрирования степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$x(t) = 2 \cdot \frac{t^{1+1}}{1+1} + 6 \cdot \frac{t^{2+1}}{2+1} + C$

$x(t) = 2 \cdot \frac{t^2}{2} + 6 \cdot \frac{t^3}{3} + C$

$x(t) = t^2 + 2t^3 + C$

Здесь $C$ — константа интегрирования, которая представляет собой начальную координату точки в момент времени $t=0$, то есть $C = x(0)$.

Изменение координаты (или перемещение) точки за промежуток времени от $0$ до $t$ вычисляется как разность между конечной и начальной координатой:

$\Delta x(t) = x(t) - x(0)$

Подставим полученное выражение для $x(t)$:

$\Delta x(t) = (t^2 + 2t^3 + C) - C$

$\Delta x(t) = t^2 + 2t^3$

Таким образом, мы нашли зависимость изменения координаты точки от времени.

Ответ:

Изменение координаты точки в зависимости от времени описывается функцией $\Delta x(t) = t^2 + 2t^3$.