Номер 13, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

13. Скорость точки, находящейся в прямолинейном движении, изменяется по закону $v(t)=2t+6t^2$ (время измеряется в секундах, скорость — в м/с). Найдите изменение координаты точки в зависимости от времени.

Дано:

Закон изменения скорости точки, находящейся в прямолинейном движении: $v(t) = 2t + 6t^2$.

Время $t$ измеряется в секундах (с), а скорость $v$ — в метрах в секунду (м/с). Единицы соответствуют системе СИ.

Найти:

Изменение координаты точки в зависимости от времени, то есть перемещение $\Delta x(t)$.

Решение:

По определению, скорость является первой производной от координаты по времени:

$v(t) = \frac{dx(t)}{dt}$

Следовательно, чтобы найти закон изменения координаты $x(t)$, необходимо найти первообразную для функции скорости $v(t)$, то есть проинтегрировать функцию $v(t)$ по времени $t$.

$x(t) = \int v(t) dt = \int (2t + 6t^2) dt$

Воспользуемся правилами интегрирования. Интеграл суммы равен сумме интегралов:

$x(t) = \int 2t \, dt + \int 6t^2 \, dt$

Применяя формулу для интегрирования степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$x(t) = 2 \cdot \frac{t^{1+1}}{1+1} + 6 \cdot \frac{t^{2+1}}{2+1} + C$

$x(t) = 2 \cdot \frac{t^2}{2} + 6 \cdot \frac{t^3}{3} + C$

$x(t) = t^2 + 2t^3 + C$

Здесь $C$ — константа интегрирования, которая представляет собой начальную координату точки в момент времени $t=0$, то есть $C = x(0)$.

Изменение координаты (или перемещение) точки за промежуток времени от $0$ до $t$ вычисляется как разность между конечной и начальной координатой:

$\Delta x(t) = x(t) - x(0)$

Подставим полученное выражение для $x(t)$:

$\Delta x(t) = (t^2 + 2t^3 + C) - C$

$\Delta x(t) = t^2 + 2t^3$

Таким образом, мы нашли зависимость изменения координаты точки от времени.

Ответ:

Изменение координаты точки в зависимости от времени описывается функцией $\Delta x(t) = t^2 + 2t^3$.