Номер 12, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

12. Скорость точки, находящейся в прямолинейном движении, изменяется по закону $v(t) = t + 3t^2$ (время измеряется в секундах, скорость — в м/с). Найдите изменение координаты точки в зависимости от времени.

Дано:
Закон изменения скорости точки, находящейся в прямолинейном движении: $v(t) = t + 3t^2$.
Время $t$ измеряется в секундах (с).
Скорость $v$ измеряется в метрах в секунду (м/с).

Найти:
Изменение координаты точки в зависимости от времени.

Решение:
Скорость $v(t)$ является производной от координаты $x(t)$ по времени $t$: $v(t) = x'(t) = \frac{dx}{dt}$

Чтобы найти зависимость координаты от времени $x(t)$, необходимо найти первообразную от функции скорости $v(t)$, то есть проинтегрировать ее по времени. $x(t) = \int v(t) dt = \int (t + 3t^2) dt$

Интеграл от суммы равен сумме интегралов: $x(t) = \int t dt + \int 3t^2 dt$

Используем формулу для интегрирования степенной функции $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$: $x(t) = \frac{t^{1+1}}{1+1} + 3 \cdot \frac{t^{2+1}}{2+1} + C = \frac{t^2}{2} + 3 \cdot \frac{t^3}{3} + C$

Упростив выражение, получаем закон изменения координаты: $x(t) = \frac{t^2}{2} + t^3 + C$

Здесь $C$ — это константа интегрирования, которая соответствует начальной координате точки в момент времени $t=0$, то есть $C = x(0)$.

Изменение координаты (перемещение) точки за время $t$ определяется как разность между ее координатой в момент времени $t$ и ее начальной координатой $x(0)$. Обозначим изменение координаты как $\Delta x(t)$. $\Delta x(t) = x(t) - x(0)$

Подставляя полученные выражения, находим: $\Delta x(t) = \left(\frac{t^2}{2} + t^3 + C\right) - C = \frac{t^2}{2} + t^3$

Таким образом, изменение координаты точки как функция времени имеет вид $\Delta x(t) = \frac{t^2}{2} + t^3$.

Ответ: $\Delta x(t) = \frac{t^2}{2} + t^3$.