Номер 9, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

9.1) $\int (x^4 - x^3 + x^2)dx,$

2) $\int (4x^3 + 5x^4 + 6x^5)dx,$

3) $\int (\cos x - 2)dx,$

4) $\int (3 + \sin x)dx.$

9.1) 1)
Дано:
Неопределенный интеграл $\int (x^4 - x^3 + x^2)dx$.
Найти:
Вычислить интеграл.
Решение:
Для вычисления интеграла от суммы/разности функций воспользуемся свойством аддитивности интеграла: $\int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$.
$\int (x^4 - x^3 + x^2)dx = \int x^4 dx - \int x^3 dx + \int x^2 dx$.
Далее, для каждого слагаемого применяем табличную формулу для интеграла от степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
$\int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^5}{5}$.
$\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.
$\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.
Собираем все вместе и добавляем одну общую константу интегрирования $C$:
$\frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C$.
Ответ: $\frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C$.

2) Дано:
Неопределенный интеграл $\int (4x^3 + 5x^4 + 6x^5)dx$.
Найти:
Вычислить интеграл.
Решение:
Используем свойство линейности интеграла: $\int (a \cdot f(x) + b \cdot g(x))dx = a \int f(x)dx + b \int g(x)dx$.
$\int (4x^3 + 5x^4 + 6x^5)dx = 4\int x^3 dx + 5\int x^4 dx + 6\int x^5 dx$.
Применяем формулу для интеграла от степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ к каждому слагаемому:
$4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + 6 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 5 \cdot \frac{x^5}{5} + 6 \cdot \frac{x^6}{6} + C$.
После сокращения дробей получаем:
$x^4 + x^5 + x^6 + C$.
Для удобства запишем многочлен в порядке убывания степеней:
$x^6 + x^5 + x^4 + C$.
Ответ: $x^6 + x^5 + x^4 + C$.

3) Дано:
Неопределенный интеграл $\int (\cos x - 2)dx$.
Найти:
Вычислить интеграл.
Решение:
Используем свойство аддитивности интеграла:
$\int (\cos x - 2)dx = \int \cos x dx - \int 2 dx$.
Применяем табличные интегралы: $\int \cos x dx = \sin x + C$ и $\int a dx = ax + C$.
$\int \cos x dx = \sin x$.
$\int 2 dx = 2x$.
Объединяя результаты и добавляя константу интегрирования $C$, получаем:
$\sin x - 2x + C$.
Ответ: $\sin x - 2x + C$.

4) Дано:
Неопределенный интеграл $\int (3 + \sin x)dx$.
Найти:
Вычислить интеграл.
Решение:
Используем свойство аддитивности интеграла:
$\int (3 + \sin x)dx = \int 3 dx + \int \sin x dx$.
Применяем табличные интегралы: $\int a dx = ax + C$ и $\int \sin x dx = -\cos x + C$.
$\int 3 dx = 3x$.
$\int \sin x dx = -\cos x$.
Объединяя результаты и добавляя константу интегрирования $C$, получаем:
$3x - \cos x + C$.
Ответ: $3x - \cos x + C$.