Номер 16, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

16. 1)

$F(x) = \sqrt{4x-5}$, $f(x) = \frac{2}{\sqrt{4x-5}}$, $x \in \left(\frac{3}{2}; +\infty\right)$;

2)

$F(x) = \sqrt{5-4x}$, $f(x) = -\frac{2}{\sqrt{5-4x}}$, $x \in \left(-\infty; \frac{5}{4}\right)$.

1) $F(x) = \sqrt{4x-5}$, $f(x) = \frac{2}{\sqrt{4x-5}}$, $x \in (\frac{3}{2}; +\infty)$;

Решение:

Для того чтобы проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с функцией $f(x)$. Если $F'(x) = f(x)$ на этом промежутке, то утверждение верно.

Найдем производную функции $F(x) = \sqrt{4x-5}$. Запишем корень в виде степени: $F(x) = (4x-5)^{\frac{1}{2}}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$:

$F'(x) = \left((4x-5)^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{1}{2}(4x-5)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (4x-5)'$

$F'(x) = \frac{1}{2}(4x-5)^{-\frac{1}{2}} \cdot 4 = 2(4x-5)^{-\frac{1}{2}} = \frac{2}{(4x-5)^{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{\sqrt{4x-5}}$

Сравним полученную производную с данной функцией $f(x)$:

$F'(x) = \frac{2}{\sqrt{4x-5}}$

$f(x) = \frac{2}{\sqrt{4x-5}}$

Так как $F'(x) = f(x)$ на всем промежутке $(\frac{3}{2}; +\infty)$, на котором обе функции определены (условие $4x-5 > 0$ дает $x > \frac{5}{4} = 1.25$, а $\frac{3}{2} = 1.5$), то функция $F(x)$ действительно является первообразной для функции $f(x)$ на указанном промежутке.

Ответ: Да, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на указанном промежутке.

2) $F(x) = \sqrt{5-4x}$, $f(x) = -\frac{2}{\sqrt{5-4x}}$, $x \in (-\infty; \frac{5}{4})$.

Решение:

Аналогично первому пункту, найдем производную функции $F(x)$ и сравним ее с $f(x)$.

Найдем производную функции $F(x) = \sqrt{5-4x}$. Запишем ее в виде $F(x) = (5-4x)^{\frac{1}{2}}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = \left((5-4x)^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{1}{2}(5-4x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (5-4x)'$

$F'(x) = \frac{1}{2}(5-4x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-4) = -2(5-4x)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{2}{(5-4x)^{\frac{1}{2}}} = -\frac{2}{\sqrt{5-4x}}$

Сравним полученную производную с данной функцией $f(x)$:

$F'(x) = -\frac{2}{\sqrt{5-4x}}$

$f(x) = -\frac{2}{\sqrt{5-4x}}$

Так как $F'(x) = f(x)$ на всем промежутке $(-\infty; \frac{5}{4})$, на котором обе функции определены (условие $5-4x > 0$ дает $x < \frac{5}{4}$), то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на указанном промежутке.

Ответ: Да, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на указанном промежутке.