Номер 22, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

22. 1) $f(x) = \cos^2 \frac{x}{3} - \sin^2 \frac{x}{3};$

2) $f(x) = \sin \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{4};$

3) $f(x) = \operatorname{tg} \frac{x}{8} \cdot \operatorname{ctg} \frac{x}{8} + x^2;$

4) $f(x) = 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{6}.$

1) Решение:
Для упрощения исходного выражения $f(x) = \cos^2\frac{x}{3} - \sin^2\frac{x}{3}$ используется формула косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Если принять $\alpha = \frac{x}{3}$, то $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{3} = \frac{2x}{3}$.
Применяя эту формулу, получаем упрощенный вид функции:
$f(x) = \cos(\frac{2x}{3})$.
Ответ: $f(x) = \cos(\frac{2x}{3})$.

2) Решение:
Для упрощения исходного выражения $f(x) = \sin\frac{x}{4} \cdot \cos\frac{x}{4}$ используется формула синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Из этой формулы можно выразить произведение синуса и косинуса: $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
Если принять $\alpha = \frac{x}{4}$, то $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{4} = \frac{x}{2}$.
Применяя эту формулу, получаем:
$f(x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2})$.
Ответ: $f(x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2})$.

3) Решение:
В выражении $f(x) = \text{tg}\frac{x}{8} \cdot \text{ctg}\frac{x}{8} + x^2$ используется основное тригонометрическое тождество $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$.
Это тождество справедливо при условии, что $\alpha$ не является таким, при котором тангенс или котангенс не определены. В данном случае, в области определения функции, произведение $\text{tg}\frac{x}{8} \cdot \text{ctg}\frac{x}{8}$ равно 1.
Таким образом, функция упрощается до:
$f(x) = 1 + x^2$.
Ответ: $f(x) = 1 + x^2$.

4) Решение:
Для упрощения исходного выражения $f(x) = 1 - 2\sin^2\frac{x}{6}$ используется одна из форм формулы косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.
Если принять $\alpha = \frac{x}{6}$, то $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{6} = \frac{x}{3}$.
Применяя эту формулу, получаем:
$f(x) = \cos(\frac{x}{3})$.
Ответ: $f(x) = \cos(\frac{x}{3})$.