Номер 24, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Найдите первообразную F(x) для функции f(x), удовлетворяющую условию F(a)=b (24–25):

24. 1) $f(x) = \frac{2}{(2x+5)^2}$, $F(-2)=\frac{1}{2}$;

2) $f(x) = \frac{1}{\left(\frac{x}{2}+3\right)^3}$, $F(-4)=3.

1)

Дано:

$f(x) = \frac{2}{(2x + 5)^2}$

$F(-2) = \frac{1}{2}$

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Общий вид первообразной для функции $f(x)$ находится через неопределенный интеграл:

$F(x) = \int f(x) dx = \int \frac{2}{(2x + 5)^2} dx$

Вынесем константу за знак интеграла и представим подынтегральную функцию в виде степени:

$F(x) = 2 \int (2x + 5)^{-2} dx$

Для нахождения интеграла воспользуемся формулой $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \cdot \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае $k=2$, $b=5$, $n=-2$.

$F(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+5)^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{(2x+5)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{2x+5} + C$.

Мы получили общий вид первообразной. Теперь, используя условие $F(-2) = \frac{1}{2}$, найдем значение константы $C$.

Подставим $x = -2$ в полученное выражение для $F(x)$:

$F(-2) = -\frac{1}{2(-2)+5} + C = -\frac{1}{-4+5} + C = -\frac{1}{1} + C = -1 + C$.

Так как по условию $F(-2) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение:

$-1 + C = \frac{1}{2}$

$C = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = -\frac{1}{2x+5} + \frac{3}{2}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2x+5} + \frac{3}{2}$.

2)

Дано:

$f(x) = \frac{1}{(\frac{x}{2} + 3)^3}$

$F(-4) = 3$

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Общий вид первообразной для функции $f(x)$ находится через неопределенный интеграл:

$F(x) = \int f(x) dx = \int \frac{1}{(\frac{x}{2} + 3)^3} dx = \int (\frac{1}{2}x + 3)^{-3} dx$.

Для нахождения интеграла воспользуемся формулой $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \cdot \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае $k=\frac{1}{2}$, $b=3$, $n=-3$.

$F(x) = \frac{1}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{(\frac{1}{2}x+3)^{-3+1}}{-3+1} + C = 2 \cdot \frac{(\frac{x}{2}+3)^{-2}}{-2} + C = -(\frac{x}{2}+3)^{-2} + C = -\frac{1}{(\frac{x}{2}+3)^2} + C$.

Мы получили общий вид первообразной. Теперь, используя условие $F(-4) = 3$, найдем значение константы $C$.

Подставим $x = -4$ в полученное выражение для $F(x)$:

$F(-4) = -\frac{1}{(\frac{-4}{2}+3)^2} + C = -\frac{1}{(-2+3)^2} + C = -\frac{1}{1^2} + C = -1 + C$.

Так как по условию $F(-4) = 3$, получаем уравнение:

$-1 + C = 3$

$C = 3 + 1 = 4$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = -\frac{1}{(\frac{x}{2}+3)^2} + 4$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{(\frac{x}{2}+3)^2} + 4$.