Номер 19, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Напишите общий вид первообразных для данных функций (19–23):

$f(x) = (2x + 3)^3;$

2) $f(x) = (3x - 2)^8;$

3) $f(x) = \sin (3x - 4);$

4) $f(x) = \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right).$

1) f(x) = (2x + 3)³
Решение:Для нахождения общего вида первообразных $F(x)$ для функции $f(x) = (2x+3)^3$ воспользуемся правилом интегрирования сложной функции вида $f(kx+b)$. Общий вид первообразных для такой функции находится по формуле:$\int f(kx+b)dx = \frac{1}{k}F_u(kx+b) + C$, где $F_u$ - первообразная для $f(u)$.В данном случае, внутренняя функция $u = 2x+3$, поэтому коэффициент $k=2$. Внешняя функция - степенная $f(u) = u^3$.Первообразная для степенной функции $u^3$ равна $F_u(u) = \frac{u^{3+1}}{3+1} = \frac{u^4}{4}$.Применяя формулу, получаем:$F(x) = \int (2x+3)^3 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+3)^4}{4} + C = \frac{(2x+3)^4}{8} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{(2x+3)^4}{8} + C$.

2) f(x) = (3x - 2)⁸
Решение:Аналогично находим первообразную для функции $f(x) = (3x-2)^8$.Здесь внутренняя функция $u = 3x-2$, следовательно, коэффициент $k=3$. Внешняя функция - $f(u) = u^8$.Первообразная для $u^8$ равна $F_u(u) = \frac{u^{8+1}}{8+1} = \frac{u^9}{9}$.Применяя правило нахождения первообразной для сложной функции, получаем:$F(x) = \int (3x-2)^8 dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-2)^9}{9} + C = \frac{(3x-2)^9}{27} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{(3x-2)^9}{27} + C$.

3) f(x) = sin(3x - 4)
Решение:Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = \sin(3x-4)$.Внутренняя функция $u = 3x-4$, коэффициент $k=3$. Внешняя функция - $f(u) = \sin(u)$.Первообразная для функции $\sin(u)$ равна $F_u(u) = -\cos(u)$.Следовательно, общий вид первообразных для данной функции:$F(x) = \int \sin(3x-4) dx = \frac{1}{3} \cdot (-\cos(3x-4)) + C = -\frac{1}{3}\cos(3x-4) + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3}\cos(3x-4) + C$.

4) f(x) = cos(2x + π/3)
Решение:Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = \cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$.Внутренняя функция $u = 2x+\frac{\pi}{3}$, коэффициент $k=2$. Внешняя функция - $f(u) = \cos(u)$.Первообразная для функции $\cos(u)$ равна $F_u(u) = \sin(u)$.Следовательно, общий вид первообразных для данной функции:$F(x) = \int \cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right) dx = \frac{1}{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right) + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right) + C$.