Номер 15, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

15. 1)

$F(x) = \frac{3}{x^2} + 2x$, $f(x) = 2 - \frac{6}{x^3}, x \in (0; +\infty)$;

2)

$F(x) = 3x - \frac{2}{x^3}$, $f(x) = 3 + \frac{6}{x^4}, x \in (0; +\infty)$.

1)

Дано:

Функция $F(x) = \frac{3}{x^2} + 2x$

Функция $f(x) = 2 - \frac{6}{x^3}$

Промежуток $x \in (0; +\infty)$

Найти:

Проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

Решение:

Функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Найдем производную функции $F(x)$. Для этого представим ее в виде степенных функций:

$F(x) = 3x^{-2} + 2x$

Применим правила дифференцирования (производная суммы и производная степенной функции):

$F'(x) = (3x^{-2} + 2x)' = (3x^{-2})' + (2x)'$

$F'(x) = 3 \cdot (-2)x^{-2-1} + 2 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = -6x^{-3} + 2x^0$

Поскольку $x^0 = 1$ (для $x \ne 0$), получаем:

$F'(x) = -6x^{-3} + 2 = 2 - \frac{6}{x^3}$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с данной функцией $f(x)$:

$F'(x) = 2 - \frac{6}{x^3}$

$f(x) = 2 - \frac{6}{x^3}$

Так как $F'(x) = f(x)$ на всем промежутке $(0; +\infty)$, то функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: Да, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $(0; +\infty)$.

2)

Дано:

Функция $F(x) = 3x - \frac{2}{x^3}$

Функция $f(x) = 3 + \frac{6}{x^4}$

Промежуток $x \in (0; +\infty)$

Найти:

Проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

Решение:

Функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Найдем производную функции $F(x)$. Для этого представим ее в виде степенных функций:

$F(x) = 3x - 2x^{-3}$

Применим правила дифференцирования:

$F'(x) = (3x - 2x^{-3})' = (3x)' - (2x^{-3})'$

$F'(x) = 3 \cdot 1 \cdot x^{1-1} - 2 \cdot (-3)x^{-3-1} = 3x^0 + 6x^{-4}$

Поскольку $x^0 = 1$ (для $x \ne 0$), получаем:

$F'(x) = 3 + 6x^{-4} = 3 + \frac{6}{x^4}$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с данной функцией $f(x)$:

$F'(x) = 3 + \frac{6}{x^4}$

$f(x) = 3 + \frac{6}{x^4}$

Так как $F'(x) = f(x)$ на всем промежутке $(0; +\infty)$, то функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: Да, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $(0; +\infty)$.