Номер 8, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Найдите неопределенные интегралы (8–9):

8.1) $\int x^{21}dx,$

2) $\int x^{-15}dx,$

3) $\int \frac{1}{4\sqrt{x}}dx,$

4) $\int \frac{5}{\sin^2 x}dx.$

8.1) $\int x^{21} dx$

Решение:

Для нахождения данного неопределенного интеграла воспользуемся табличной формулой для степенной функции: $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $, где $C$ — произвольная постоянная.

В нашем случае показатель степени $n=21$. Подставляем это значение в формулу:

$ \int x^{21} dx = \frac{x^{21+1}}{21+1} + C = \frac{x^{22}}{22} + C $

Ответ: $ \frac{x^{22}}{22} + C $.

2) $\int x^{-15} dx$

Решение:

Этот интеграл также является интегралом от степенной функции. Применяем ту же формулу: $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $.

Здесь показатель степени $n=-15$. Подставляем в формулу:

$ \int x^{-15} dx = \frac{x^{-15+1}}{-15+1} + C = \frac{x^{-14}}{-14} + C = -\frac{1}{14x^{14}} + C $

Ответ: $ -\frac{1}{14x^{14}} + C $.

3) $\int \frac{1}{4\sqrt{x}} dx$

Решение:

Сначала преобразуем подынтегральное выражение, представив корень в виде степени и вынеся константу за знак интеграла.

$ \frac{1}{4\sqrt{x}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{1}{4}x^{-1/2} $

$ \int \frac{1}{4\sqrt{x}} dx = \int \frac{1}{4}x^{-1/2} dx = \frac{1}{4} \int x^{-1/2} dx $

Теперь используем формулу для степенной функции при $ n = -1/2 $:

$ \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{1}{4} \cdot 2x^{1/2} + C = \frac{1}{2}x^{1/2} + C = \frac{\sqrt{x}}{2} + C $

Ответ: $ \frac{\sqrt{x}}{2} + C $.

4) $\int \frac{5}{\sin^2 x} dx$

Решение:

Вынесем константу $5$ за знак интеграла:

$ \int \frac{5}{\sin^2 x} dx = 5 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx $

Интеграл $ \int \frac{1}{\sin^2 x} dx $ является табличным. Его значение равно $ -\cot x + C $.

Подставляем это значение в наше выражение:

$ 5 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = 5(-\cot x) + C = -5\cot x + C $

Ответ: $ -5\cot x + C $.