Номер 7, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

7.1) $f(x) = 3\cos x - 4\sin x,$

2) $f(x) = 5\sin x + 6\cos x,$

3) $f(x) = \frac{2}{\cos^2 x} + 8x^7;$

4) $f(x) = \frac{3}{\sin^2 x} - 9x^8.$

7.1)

Решение:
Для нахождения первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = 3\cos x - 4\sin x$ необходимо вычислить неопределенный интеграл от $f(x)$. $F(x) = \int (3\cos x - 4\sin x) dx$. Используя свойство линейности интеграла, разделим интеграл на два и вынесем константы: $F(x) = 3\int \cos x dx - 4\int \sin x dx$. Применяя табличные интегралы $\int \cos x dx = \sin x$ и $\int \sin x dx = -\cos x$, получаем: $F(x) = 3(\sin x) - 4(-\cos x) + C = 3\sin x + 4\cos x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 3\sin x + 4\cos x + C$.

2)

Решение:
Для функции $f(x) = 5\sin x + 6\cos x$ найдем ее общую первообразную $F(x)$, вычисляя интеграл: $F(x) = \int (5\sin x + 6\cos x) dx$. По свойству линейности интеграла: $F(x) = 5\int \sin x dx + 6\int \cos x dx$. Используя табличные интегралы $\int \sin x dx = -\cos x$ и $\int \cos x dx = \sin x$, получаем: $F(x) = 5(-\cos x) + 6(\sin x) + C = 6\sin x - 5\cos x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 6\sin x - 5\cos x + C$.

3)

Решение:
Для функции $f(x) = \frac{2}{\cos^2 x} + 8x^7$ найдем ее общую первообразную $F(x)$. $F(x) = \int \left(\frac{2}{\cos^2 x} + 8x^7\right) dx$. По свойству линейности интеграла: $F(x) = 2\int \frac{1}{\cos^2 x} dx + 8\int x^7 dx$. Используем табличные интегралы: $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x$ и для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Для $n=7$ имеем $\int x^7 dx = \frac{x^{7+1}}{7+1} = \frac{x^8}{8}$. Подставляя, получаем: $F(x) = 2\tan x + 8\left(\frac{x^8}{8}\right) + C = 2\tan x + x^8 + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 2\tan x + x^8 + C$.

4)

Решение:
Для функции $f(x) = \frac{3}{\sin^2 x} - 9x^8$ найдем ее общую первообразную $F(x)$. $F(x) = \int \left(\frac{3}{\sin^2 x} - 9x^8\right) dx$. По свойству линейности интеграла: $F(x) = 3\int \frac{1}{\sin^2 x} dx - 9\int x^8 dx$. Используем табличные интегралы: $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x$ и для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Для $n=8$ имеем $\int x^8 dx = \frac{x^{8+1}}{8+1} = \frac{x^9}{9}$. Подставляя, получаем: $F(x) = 3(-\cot x) - 9\left(\frac{x^9}{9}\right) + C = -3\cot x - x^9 + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = -3\cot x - x^9 + C$.