Номер 11, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

11.1) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{2x+1}}$, $M(4; 5);$

2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-3x}}$, $M(0; \frac{2}{3});$

3) $f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$, $M(\frac{\pi}{4}; 2);$

4) $f(x) = \frac{2}{\sin^2 x}$, $M(\frac{\pi}{4}; 3).$

1) Дано:

Функция $f(x) = \frac{2}{\sqrt{2x+1}}$.

Точка $M(4; 5)$, через которую проходит график искомой первообразной $F(x)$.

Найти:

Первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Общий вид первообразной для функции $f(x)$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int f(x) dx = \int \frac{2}{\sqrt{2x+1}} dx = 2 \int (2x+1)^{-1/2} dx$.

Используем формулу для интегрирования степенной функции со сложным аргументом $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае $a=2$, $b=1$, $n=-1/2$.

$F(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = \frac{(2x+1)^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{2x+1} + C$.

Таким образом, общий вид первообразной: $F(x) = 2\sqrt{2x+1} + C$.

Чтобы найти значение константы $C$, используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(4; 5)$, то есть $F(4) = 5$.

Подставляем значения $x=4$ и $F(x)=5$ в уравнение для первообразной:

$5 = 2\sqrt{2 \cdot 4 + 1} + C$

$5 = 2\sqrt{9} + C$

$5 = 2 \cdot 3 + C$

$5 = 6 + C$

$C = 5 - 6 = -1$.

Искомая первообразная:

$F(x) = 2\sqrt{2x+1} - 1$.

Ответ: $F(x) = 2\sqrt{2x+1} - 1$.

2) Дано:

Функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-3x}}$.

Точка $M(0; \frac{2}{3})$, через которую проходит график искомой первообразной $F(x)$.

Найти:

Первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Найдем общий вид первообразной, вычислив неопределенный интеграл:

$F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1-3x}} dx = \int (1-3x)^{-1/2} dx$.

Используем формулу $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

Здесь $a=-3$, $b=1$, $n=-1/2$.

$F(x) = \frac{1}{-3} \frac{(1-3x)^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = -\frac{1}{3} \frac{(1-3x)^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{2}{3}\sqrt{1-3x} + C$.

Общий вид первообразной: $F(x) = -\frac{2}{3}\sqrt{1-3x} + C$.

Используем условие $F(0) = \frac{2}{3}$ для нахождения константы $C$:

$\frac{2}{3} = -\frac{2}{3}\sqrt{1 - 3 \cdot 0} + C$

$\frac{2}{3} = -\frac{2}{3}\sqrt{1} + C$

$\frac{2}{3} = -\frac{2}{3} + C$

$C = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

Искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = -\frac{2}{3}\sqrt{1-3x} + \frac{4}{3}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{2}{3}\sqrt{1-3x} + \frac{4}{3}$.

3) Дано:

Функция $f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$.

Точка $M(\frac{\pi}{4}; 2)$, через которую проходит график искомой первообразной $F(x)$.

Найти:

Первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int \frac{3}{\cos^2 x} dx = 3 \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$.

Из таблицы основных интегралов известно, что $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$.

Следовательно, $F(x) = 3 \tan x + C$.

Общий вид первообразной: $F(x) = 3 \tan x + C$.

Используем условие, что $F(\frac{\pi}{4}) = 2$, чтобы найти $C$:

$2 = 3 \tan(\frac{\pi}{4}) + C$.

Так как $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$2 = 3 \cdot 1 + C$

$2 = 3 + C$

$C = 2 - 3 = -1$.

Искомая первообразная:

$F(x) = 3 \tan x - 1$.

Ответ: $F(x) = 3 \tan x - 1$.

4) Дано:

Функция $f(x) = \frac{2}{\sin^2 x}$.

Точка $M(\frac{\pi}{4}; 3)$, через которую проходит график искомой первообразной $F(x)$.

Найти:

Первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int \frac{2}{\sin^2 x} dx = 2 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx$.

Из таблицы основных интегралов известно, что $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$.

Следовательно, $F(x) = 2(-\cot x) + C = -2 \cot x + C$.

Общий вид первообразной: $F(x) = -2 \cot x + C$.

Используем условие, что $F(\frac{\pi}{4}) = 3$, чтобы найти $C$:

$3 = -2 \cot(\frac{\pi}{4}) + C$.

Так как $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$3 = -2 \cdot 1 + C$

$3 = -2 + C$

$C = 3 + 2 = 5$.

Искомая первообразная:

$F(x) = -2 \cot x + 5$.

Ответ: $F(x) = -2 \cot x + 5$.