Номер 6, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

6. 1) $f(x) = 5x^4 - 3x^2;$

2) $f(x) = 4x^3 - 6x^5 + 1;$

3) $f(x) = x^{10} + \frac{13}{12}x^{12};$

4) $f(x) = -x^9 + \frac{15}{14}x^{14}.$

6.1)

Дано:

Функция $f(x) = 5x^4 - 3x^2$.

Найти:

Общий вид первообразных $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Для нахождения первообразной функции $f(x)$ (то есть, её неопределенного интеграла) необходимо использовать правила интегрирования. Основная формула для степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Первообразная от разности функций равна разности первообразных, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

$F(x) = \int (5x^4 - 3x^2) dx = \int 5x^4 dx - \int 3x^2 dx$

$F(x) = 5 \int x^4 dx - 3 \int x^2 dx = 5 \left(\frac{x^{4+1}}{4+1}\right) - 3 \left(\frac{x^{2+1}}{2+1}\right) + C$

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C$

После упрощения получаем:

$F(x) = x^5 - x^3 + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = x^5 - x^3 + C$.

2)

Дано:

Функция $f(x) = 4x^3 - 6x^5 + 1$.

Найти:

Общий вид первообразных $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Находим первообразную, применяя те же правила интегрирования. Первообразная константы $k$ равна $kx$. В данном случае, первообразная от $1$ равна $x$.

$F(x) = \int (4x^3 - 6x^5 + 1) dx = \int 4x^3 dx - \int 6x^5 dx + \int 1 dx$

$F(x) = 4 \left(\frac{x^{3+1}}{3+1}\right) - 6 \left(\frac{x^{5+1}}{5+1}\right) + x + C$

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 6 \cdot \frac{x^6}{6} + x + C$

Упрощая выражение, получаем:

$F(x) = x^4 - x^6 + x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = x^4 - x^6 + x + C$.

3)

Дано:

Функция $f(x) = x^{10} + \frac{13}{12} x^{12}$.

Найти:

Общий вид первообразных $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Используем формулу для нахождения первообразной степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int (x^{10} + \frac{13}{12} x^{12}) dx = \int x^{10} dx + \int \frac{13}{12} x^{12} dx$

$F(x) = \frac{x^{10+1}}{10+1} + \frac{13}{12} \left(\frac{x^{12+1}}{12+1}\right) + C$

$F(x) = \frac{x^{11}}{11} + \frac{13}{12} \cdot \frac{x^{13}}{13} + C$

Сокращаем дробь во втором слагаемом:

$F(x) = \frac{x^{11}}{11} + \frac{x^{13}}{12} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{x^{11}}{11} + \frac{x^{13}}{12} + C$.

4)

Дано:

Функция $f(x) = -x^9 + \frac{15}{14} x^{14}$.

Найти:

Общий вид первообразных $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Находим первообразную, используя те же правила.

$F(x) = \int (-x^9 + \frac{15}{14} x^{14}) dx = \int (-x^9) dx + \int \frac{15}{14} x^{14} dx$

$F(x) = - \int x^9 dx + \frac{15}{14} \int x^{14} dx = - \left(\frac{x^{9+1}}{9+1}\right) + \frac{15}{14} \left(\frac{x^{14+1}}{14+1}\right) + C$

$F(x) = - \frac{x^{10}}{10} + \frac{15}{14} \cdot \frac{x^{15}}{15} + C$

Сокращаем дробь во втором слагаемом:

$F(x) = -\frac{x^{10}}{10} + \frac{x^{15}}{14} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = -\frac{x^{10}}{10} + \frac{x^{15}}{14} + C$.