Номер 18, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

18. Используя простейшие преобразования, постройте график функции:

1) $y = -2\cos \left(4x - \frac{\pi}{4}\right) + 3;$

2) $y = -2 + 5\sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right);$

3) $y = 4 - 2\sin^2 \left(3x - \frac{\pi}{3}\right).$

1) $y = -2\cos(4x - \frac{\pi}{4}) + 3$

Решение:

Для построения графика функции $y = -2\cos(4x - \frac{\pi}{4}) + 3$ будем использовать последовательные преобразования графика базовой функции $y_0 = \cos(x)$.

1. Сначала преобразуем выражение в аргументе косинуса, вынеся множитель 4 за скобки:

$y = -2\cos(4(x - \frac{\pi}{16})) + 3$

2. Теперь выполним построение по шагам:

• Строим график функции $y_0 = \cos(x)$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.
• Сжимаем график по горизонтали (к оси OY) в 4 раза. Получаем график функции $y_1 = \cos(4x)$. Период функции уменьшается в 4 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
• Сдвигаем полученный график вправо по оси OX на $\frac{\pi}{16}$. Получаем график функции $y_2 = \cos(4(x - \frac{\pi}{16}))$.
• Растягиваем график по вертикали (от оси OX) в 2 раза и отражаем его относительно оси OX. Это соответствует умножению на -2. Получаем график функции $y_3 = -2\cos(4(x - \frac{\pi}{16}))$. Амплитуда колебаний становится равной 2, а область значений — $[-2, 2]$.
• Сдвигаем график вверх по оси OY на 3 единицы. Получаем итоговый график функции $y = -2\cos(4(x - \frac{\pi}{16})) + 3$. Область значений становится $[1, 5]$, а средняя линия — $y=3$.

Основные характеристики функции:

• Период: $T = \frac{\pi}{2}$
• Амплитуда: $A = 2$
• Область значений: $E(y) = [1, 5]$
• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{16}$ вправо
• Вертикальный сдвиг: 3 вверх

Ответ: График функции построен с помощью последовательных преобразований базовой функции $y=\cos(x)$. Итоговый график представлен на рисунке выше.

2) $y = -2 + 5\sin(2x + \frac{\pi}{6})$

Решение:

Перепишем функцию в более удобном для анализа виде: $y = 5\sin(2x + \frac{\pi}{6}) - 2$.

Для построения графика будем использовать последовательные преобразования графика базовой функции $y_0 = \sin(x)$.

1. Сначала преобразуем выражение в аргументе синуса, вынеся множитель 2 за скобки:

$y = 5\sin(2(x + \frac{\pi}{12})) - 2$

2. Теперь выполним построение по шагам:

• Строим график функции $y_0 = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.
• Сжимаем график по горизонтали (к оси OY) в 2 раза. Получаем график функции $y_1 = \sin(2x)$. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
• Сдвигаем полученный график влево по оси OX на $\frac{\pi}{12}$. Получаем график функции $y_2 = \sin(2(x + \frac{\pi}{12}))$.
• Растягиваем график по вертикали (от оси OX) в 5 раз. Это соответствует умножению на 5. Получаем график функции $y_3 = 5\sin(2(x + \frac{\pi}{12}))$. Амплитуда колебаний становится равной 5, а область значений — $[-5, 5]$.
• Сдвигаем график вниз по оси OY на 2 единицы. Получаем итоговый график функции $y = 5\sin(2(x + \frac{\pi}{12})) - 2$. Область значений становится $[-7, 3]$, а средняя линия — $y=-2$.

Основные характеристики функции:

• Период: $T = \pi$
• Амплитуда: $A = 5$
• Область значений: $E(y) = [-7, 3]$
• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{12}$ влево
• Вертикальный сдвиг: 2 вниз

Ответ: График функции построен с помощью последовательных преобразований базовой функции $y=\sin(x)$. Итоговый график представлен на рисунке выше.

3) $y = 4 - 2\sin^2(3x - \frac{\pi}{3})$

Решение:

Для построения графика сначала упростим данное выражение. Воспользуемся формулой понижения степени (или косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha) $):

$2\sin^2(\alpha) = 1 - \cos(2\alpha)$

В нашем случае $\alpha = 3x - \frac{\pi}{3}$. Подставим это в формулу:

$2\sin^2(3x - \frac{\pi}{3}) = 1 - \cos(2(3x - \frac{\pi}{3})) = 1 - \cos(6x - \frac{2\pi}{3})$

Теперь подставим полученное выражение в исходную функцию:

$y = 4 - (1 - \cos(6x - \frac{2\pi}{3})) = 4 - 1 + \cos(6x - \frac{2\pi}{3}) = \cos(6x - \frac{2\pi}{3}) + 3$

Теперь мы можем построить график функции $y = \cos(6x - \frac{2\pi}{3}) + 3$, используя преобразования графика $y_0 = \cos(x)$.

1. Вынесем множитель 6 за скобки в аргументе косинуса:

$y = \cos(6(x - \frac{2\pi}{18})) + 3 = \cos(6(x - \frac{\pi}{9})) + 3$

2. Выполним построение по шагам:

• Строим график функции $y_0 = \cos(x)$.
• Сжимаем график по горизонтали (к оси OY) в 6 раз. Получаем график функции $y_1 = \cos(6x)$. Период функции уменьшается в 6 раз и становится равным $T = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.
• Сдвигаем полученный график вправо по оси OX на $\frac{\pi}{9}$. Получаем график функции $y_2 = \cos(6(x - \frac{\pi}{9}))$.
• Сдвигаем график вверх по оси OY на 3 единицы. Получаем итоговый график функции $y = \cos(6(x - \frac{\pi}{9})) + 3$. Область значений становится $[2, 4]$, а средняя линия — $y=3$.

Основные характеристики функции:

• Период: $T = \frac{\pi}{3}$
• Амплитуда: $A = 1$
• Область значений: $E(y) = [2, 4]$
• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{9}$ вправо
• Вертикальный сдвиг: 3 вверх

Ответ: После тригонометрического упрощения функция приводится к виду $y = \cos(6x - \frac{2\pi}{3}) + 3$. Ее график построен с помощью последовательных преобразований базовой функции $y=\cos(x)$ и представлен на рисунке выше.