Номер 12, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

12. 1) Решите уравнение $f(x) = x^2 + 3x - 40$, если $f(x) + f'(x) = 0$;

2) решите уравнение $f(x) = -x^2 - 6x - 7$, если $f(x) - f'(x) < 0$.

1)

Дано:

Функция $f(x) = x^2 + 3x - 40$.

Условие $f(x) + f'(x) = 0$.

Найти:

Значение $x$, удовлетворяющее уравнению.

Решение:

Сначала найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x^2 + 3x - 40)' = (x^2)' + (3x)' - (40)' = 2x + 3$.

Теперь подставим $f(x)$ и $f'(x)$ в данное уравнение $f(x) + f'(x) = 0$.

$(x^2 + 3x - 40) + (2x + 3) = 0$.

Упростим полученное выражение, сгруппировав подобные члены:

$x^2 + (3x + 2x) + (-40 + 3) = 0$.

$x^2 + 5x - 37 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=5$, $c=-37$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-37) = 25 + 148 = 173$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{173}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{173}}{2}$.

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{173}}{2}$

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{173}}{2}$

Ответ: $x = \frac{-5 \pm \sqrt{173}}{2}$.

2)

Дано:

Функция $f(x) = -x^2 - 6x - 7$.

Условие $f(x) - f'(x) < 0$.

Найти:

Интервалы значений $x$, удовлетворяющие неравенству.

Решение:

Сначала найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (-x^2 - 6x - 7)' = (-x^2)' - (6x)' - (7)' = -2x - 6$.

Теперь подставим $f(x)$ и $f'(x)$ в данное неравенство $f(x) - f'(x) < 0$.

$(-x^2 - 6x - 7) - (-2x - 6) < 0$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$-x^2 - 6x - 7 + 2x + 6 < 0$.

$-x^2 - 4x - 1 < 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 4x + 1 > 0$.

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 4x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

Найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.

Корни уравнения: $x_1 = -2 - \sqrt{3}$ и $x_2 = -2 + \sqrt{3}$.

Парабола $y = x^2 + 4x + 1$ имеет ветви, направленные вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, значения функции больше нуля ($>0$) находятся за пределами корней.

Таким образом, решение неравенства $x^2 + 4x + 1 > 0$ — это объединение двух интервалов: $x < -2 - \sqrt{3}$ и $x > -2 + \sqrt{3}$.

В виде интервалов это записывается как $(-\infty; -2 - \sqrt{3}) \cup (-2 + \sqrt{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{3}) \cup (-2 + \sqrt{3}; +\infty)$.