Номер 10, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

10. Найдите значение производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = 4x^3 - x^4 + 10, x_0 = -1;$

2) $f(x) = \frac{3}{x - 1}, x_0 = 3;$

3) $f(x) = \cos^2{3x} + \operatorname{tg}{x}, x_0 = \frac{\pi}{6};$

4) $f(x) = \sqrt{5x^2 - 4}, x_0 = 2\sqrt{2}.$

1) f(x) = 4x³ - x⁴ + 10, x₀ = -1

Дано:

Функция $f(x) = 4x^3 - x^4 + 10$

Точка $x_0 = -1$

Найти:

Значение производной $f'(x_0)$.

Решение:

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правила дифференцирования степенной функции и суммы функций:

$f'(x) = (4x^3 - x^4 + 10)' = (4x^3)' - (x^4)' + (10)'$

Производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, а производная константы равна нулю.

$f'(x) = 4 \cdot 3x^{3-1} - 4x^{4-1} + 0 = 12x^2 - 4x^3$

Теперь подставим значение $x_0 = -1$ в выражение для производной:

$f'(-1) = 12(-1)^2 - 4(-1)^3 = 12 \cdot 1 - 4 \cdot (-1) = 12 + 4 = 16$

Ответ: 16

2) f(x) = 3 / (x - 1), x₀ = 3

Дано:

Функция $f(x) = \frac{3}{x - 1}$

Точка $x_0 = 3$

Найти:

Значение производной $f'(x_0)$.

Решение:

Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u = 3$ и $v = x - 1$. Тогда $u' = 0$ и $v' = 1$.

$f'(x) = \left(\frac{3}{x-1}\right)' = \frac{(3)'(x-1) - 3(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{0 \cdot (x-1) - 3 \cdot 1}{(x-1)^2} = -\frac{3}{(x-1)^2}$

Теперь подставим значение $x_0 = 3$ в выражение для производной:

$f'(3) = -\frac{3}{(3-1)^2} = -\frac{3}{2^2} = -\frac{3}{4}$

Ответ: $-\frac{3}{4}$

3) f(x) = cos²3x + tgx, x₀ = π/6

Дано:

Функция $f(x) = \cos^2(3x) + \tan(x)$

Точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$

Найти:

Значение производной $f'(x_0)$.

Решение:

Найдем производную функции $f(x)$, дифференцируя каждое слагаемое по отдельности.

Производная первого слагаемого $g(x) = \cos^2(3x)$ находится по правилу дифференцирования сложной функции:

$g'(x) = (\cos^2(3x))' = 2\cos(3x) \cdot (\cos(3x))' = 2\cos(3x) \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' = -6\sin(3x)\cos(3x)$

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, упростим выражение:

$g'(x) = -3 \cdot (2\sin(3x)\cos(3x)) = -3\sin(6x)$

Производная второго слагаемого $h(x) = \tan(x)$ является табличной:

$h'(x) = (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2(x)}$

Суммируя производные слагаемых, получаем производную исходной функции:

$f'(x) = g'(x) + h'(x) = -3\sin(6x) + \frac{1}{\cos^2(x)}$

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$f'(\frac{\pi}{6}) = -3\sin(6 \cdot \frac{\pi}{6}) + \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{6})} = -3\sin(\pi) + \frac{1}{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$

Зная, что $\sin(\pi) = 0$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{6}) = -3 \cdot 0 + \frac{1}{3/4} = 0 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

4) f(x) = √(5x² - 4), x₀ = 2√2

Дано:

Функция $f(x) = \sqrt{5x^2 - 4}$

Точка $x_0 = 2\sqrt{2}$

Найти:

Значение производной $f'(x_0)$.

Решение:

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

В нашем случае $u = 5x^2 - 4$, тогда $u' = (5x^2-4)' = 10x$.

$f'(x) = \left(\sqrt{5x^2 - 4}\right)' = \frac{(5x^2-4)'}{2\sqrt{5x^2-4}} = \frac{10x}{2\sqrt{5x^2-4}} = \frac{5x}{\sqrt{5x^2-4}}$

Теперь подставим значение $x_0 = 2\sqrt{2}$ в выражение для производной.

Сначала вычислим $x_0^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.

$f'(2\sqrt{2}) = \frac{5 \cdot (2\sqrt{2})}{\sqrt{5 \cdot (2\sqrt{2})^2 - 4}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{5 \cdot 8 - 4}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{40 - 4}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{36}}$

$f'(2\sqrt{2}) = \frac{10\sqrt{2}}{6} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $\frac{5\sqrt{2}}{3}$