Номер 7, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

7. Найдите область определения функции:

1) $y = \arcsin\frac{1}{x} + \sqrt{4 - 3x - x^2}$

2) $y = \arcsin(x - 3) + \sqrt{x^2 - 2x - 3}$

1)

Дано:

Функция $y = \arcsin\frac{1}{x} + \sqrt{4 - 3x - x^2}$.

Найти:

Область определения функции $D(y)$.

Решение:

Область определения функции есть пересечение областей определения двух слагаемых: $y_1 = \arcsin\frac{1}{x}$ и $y_2 = \sqrt{4 - 3x - x^2}$.

1. Найдем область определения $y_1 = \arcsin\frac{1}{x}$.

Аргумент функции арксинус должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$. Также знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$\begin{cases} -1 \le \frac{1}{x} \le 1 \\ x \neq 0 \end{cases}$

Это двойное неравенство равносильно неравенству $|\frac{1}{x}| \le 1$, что в свою очередь равносильно $|x| \ge 1$.

Решением неравенства $|x| \ge 1$ является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.

2. Найдем область определения $y_2 = \sqrt{4 - 3x - x^2}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$4 - 3x - x^2 \ge 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 + 3x - 4 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x - 4 = 0$.

По теореме Виета $x_1 + x_2 = -3$ и $x_1 \cdot x_2 = -4$. Корни: $x_1 = -4$, $x_2 = 1$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 3x - 4$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 3x - 4 \le 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, $x \in [-4, 1]$.

3. Найдем пересечение областей определения.

Область определения исходной функции есть пересечение найденных множеств:

$D(y) = ((-\infty, -1] \cup [1, +\infty)) \cap [-4, 1]$

Рассмотрим пересечение на числовой прямой. Пересекая интервал $[-4, 1]$ с $(-\infty, -1]$, получаем $[-4, -1]$. Пересекая $[-4, 1]$ с $[1, +\infty)$, получаем точку $\{1\}$.

Объединяя результаты, получаем: $x \in [-4, -1] \cup \{1\}$.

Ответ: $D(y) = [-4, -1] \cup \{1\}$.

2)

Дано:

Функция $y = \arcsin(x-3) + \sqrt{x^2 - 2x - 3}$.

Найти:

Область определения функции $D(y)$.

Решение:

Область определения функции есть пересечение областей определения двух слагаемых: $y_1 = \arcsin(x-3)$ и $y_2 = \sqrt{x^2 - 2x - 3}$.

1. Найдем область определения $y_1 = \arcsin(x-3)$.

Аргумент функции арксинус должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$:

$-1 \le x - 3 \le 1$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-1 + 3 \le x \le 1 + 3$

$2 \le x \le 4$

Следовательно, $x \in [2, 4]$.

2. Найдем область определения $y_2 = \sqrt{x^2 - 2x - 3}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 - 2x - 3 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 3 = 0$.

По теореме Виета $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 3$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 2x - 3 \ge 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Следовательно, $x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$.

3. Найдем пересечение областей определения.

Область определения исходной функции есть пересечение найденных множеств:

$D(y) = [2, 4] \cap ((-\infty, -1] \cup [3, +\infty))$

Пересечение отрезка $[2, 4]$ с множеством $(-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$ дает отрезок $[3, 4]$.

Ответ: $D(y) = [3, 4]$.