Номер 1, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Постройте график функции:

1) $y = 1 - \cos\frac{x}{2}$;

2) $y = 3\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

3) $y = \cos^2x + \sin2x + 1$;

4) $y = 2\tan\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - 2$.

1) $y = 1 - \cos\frac{x}{2}$;

Решение:

Построение графика функции $y = 1 - \cos\frac{x}{2}$ выполняется путем последовательных преобразований графика основной функции $y = \cos x$.

1. Начнем с графика функции $y_1 = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

2. Преобразуем аргумент: $y_2 = \cos\frac{x}{2}$. Это соответствует растяжению графика $y_1$ вдоль оси OX в 2 раза. Период функции увеличивается в 2 раза и становится $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

3. Далее, инвертируем знак функции: $y_3 = -\cos\frac{x}{2}$. Это соответствует симметричному отражению графика $y_2$ относительно оси OX.

4. Наконец, прибавляем константу: $y = 1 - \cos\frac{x}{2} = y_3 + 1$. Это сдвигает график $y_3$ вверх на 1 единицу вдоль оси OY.

В результате этих преобразований получаем график с периодом $4\pi$. Область значений функции: $[-1, 1]$ для $y_3$ смещается на +1, и становится $[0, 2]$ для итоговой функции.

Ключевые точки на одном периоде $[0, 4\pi]$:

• При $x=0$, $y = 1 - \cos(0) = 1 - 1 = 0$.
• При $x=\pi$, $y = 1 - \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 - 0 = 1$.
• При $x=2\pi$, $y = 1 - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2$. (Максимум)
• При $x=3\pi$, $y = 1 - \cos(\frac{3\pi}{2}) = 1 - 0 = 1$.
• При $x=4\pi$, $y = 1 - \cos(2\pi) = 1 - 1 = 0$. (Минимум)

Ответ: График функции представлен выше.

2) $y = 3\sin(x - \frac{\pi}{4})$;

Решение:

Построим график функции $y = 3\sin(x - \frac{\pi}{4})$ путем преобразования графика $y = \sin x$.

1. Начнем с графика функции $y_1 = \sin x$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

2. Выполним сдвиг (фазовый сдвиг) графика $y_1$ вдоль оси OX. Функция $y_2 = \sin(x - \frac{\pi}{4})$ получается сдвигом $y_1$ вправо на $\frac{\pi}{4}$.

3. Выполним растяжение графика $y_2$ вдоль оси OY. Функция $y = 3\sin(x - \frac{\pi}{4})$ получается растяжением $y_2$ от оси OX в 3 раза. Амплитуда становится равной 3.

Период функции остается $T = 2\pi$. Область значений: $[-3, 3]$.

Ключевые точки: нули функции находятся при $x - \frac{\pi}{4} = k\pi$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$. Максимумы ($y=3$) при $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, то есть $x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$. Минимумы ($y=-3$) при $x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, то есть $x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi$.

Ответ: График функции представлен выше.

3) $y = \cos^2 x + \sin 2x + 1$;

Решение:

Для построения графика преобразуем данную функцию, используя тригонометрические тождества: $y = \cos^2 x + \sin 2x + 1$. Используем формулу понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$. $y = \frac{1 + \cos 2x}{2} + \sin 2x + 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x + \sin 2x + 1 = \sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{3}{2}$.

Функция является суммой гармоник $\sin 2x$ и $\cos 2x$, а также константы. Период слагаемых $\sin 2x$ и $\cos 2x$ равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Следовательно, период всей функции также равен $\pi$.

Построим график по точкам на одном периоде, например, на отрезке $[0, \pi]$.

• При $x=0$, $y = \cos^2(0) + \sin(0) + 1 = 1^2 + 0 + 1 = 2$.
• При $x=\frac{\pi}{4}$, $y = \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \sin(\frac{\pi}{2}) + 1 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 1 + 1 = \frac{1}{2} + 2 = 2.5$.
• При $x=\frac{\pi}{2}$, $y = \cos^2(\frac{\pi}{2}) + \sin(\pi) + 1 = 0^2 + 0 + 1 = 1$.
• При $x=\frac{3\pi}{4}$, $y = \cos^2(\frac{3\pi}{4}) + \sin(\frac{3\pi}{2}) + 1 = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 1 + 1 = 0.5$.
• При $x=\pi$, $y = \cos^2(\pi) + \sin(2\pi) + 1 = (-1)^2 + 0 + 1 = 2$.

Ответ: График функции представлен выше.

4) $y = 2\tan(2x + \frac{\pi}{4}) - 2$.

Решение:

Построим график функции $y = 2\tan(2x + \frac{\pi}{4}) - 2$ путем преобразования графика $y = \tan x$.

1. График $y_1 = \tan x$ имеет период $\pi$ и вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

2. $y_2 = \tan(2x)$: сжатие графика по оси OX в 2 раза. Период становится $T = \frac{\pi}{2}$. Асимптоты: $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$.

3. $y_3 = \tan(2x + \frac{\pi}{4}) = \tan(2(x + \frac{\pi}{8}))$: сдвиг графика $y_2$ влево на $\frac{\pi}{8}$. Асимптоты смещаются влево: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$.

4. $y_4 = 2\tan(2x + \frac{\pi}{4})$: растяжение графика $y_3$ вдоль оси OY в 2 раза.

5. $y = 2\tan(2x + \frac{\pi}{4}) - 2$: сдвиг графика $y_4$ вниз на 2 единицы.

Итоговая функция имеет период $T = \pi/2$. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$, где $k$ - целое число. Пересечение с осью OX ($y=0$): $2\tan(2x + \frac{\pi}{4}) = 2 \implies \tan(2x + \frac{\pi}{4}) = 1 \implies 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + n\pi \implies x = \frac{n\pi}{2}$. Центры симметрии ветвей тангенса (где $y=-2$) находятся при $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$.

Ответ: График функции представлен выше.